Как определить центр тяжести тела неправильной формы. Нахождение центра тяжести своего тела

Нарисуйте схему системы и отметьте на ней центр тяжести. Если найденный центр тяжести находится вне системы объектов, вы получили неверный ответ. Возможно, вы измерили расстояния от разных точек отсчета. Повторите измерения.

• Например, если на качелях сидят дети, центр тяжести будет где-то между детьми, а не справа или слева от качелей. Также центр тяжести никогда не совпадет с точкой, где сидит ребенок.
• Эти рассуждения верны в двумерном пространстве. Нарисуйте квадрат, в котором поместятся все объекты системы. Центр тяжести должен находиться внутри этого квадрата.

Проверьте математические вычисления, если вы получили маленький результат. Если точка отсчета находится на одном конце системы, маленький результат помещает центр тяжести возле конца системы. Возможно, это правильный ответ, но в подавляющем большинстве случаев такой результат указывает на ошибку. Когда вы вычисляли моменты, вы перемножали соответствующие веса и расстояния? Если вместо умножения вы сложили веса и расстояния, вы получите гораздо меньший результат.

Исправьте ошибку, если вы нашли несколько центров тяжести. Каждая система имеет только один центр тяжести. Если вы нашли несколько центров тяжести, скорее всего, вы не сложили все моменты. Центр тяжести равен отношению «суммарного» момента к «суммарному» весу. Не нужно делить «каждый» момент на «каждый» вес: так вы найдете положение каждого объекта.

Проверьте точку отсчета, если ответ отличается на некоторое целое значение. В нашем примере ответ равен 3,4 м. Допустим, вы получили ответ 0,4 м или 1,4 м, или другое число, оканчивающееся на «,4». Это потому, что в качестве точки отсчета вы выбрали не левый конец доски, а точку, которая расположена правее на целую величину. На самом деле, ваш ответ верен, независимо от того, какую точку отсчета вы выбрали! Просто запомните: точка отсчета всегда находится в положении x = 0. Вот пример:

• В нашем примере точка отсчета находилась на левом конце доски и мы нашли, что центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от этой точки отсчета.
• Если в качестве точки отсчета выбрать точку, которая расположена на расстоянии 1 м вправо от левого конца доски, вы получите ответ 2,4 м. То есть центр тяжести находится на расстоянии 2,4 м от новой точки отсчета, которая, в свою очередь, находится на расстоянии 1 м от левого конца доски. Таким образом, центр тяжести находится на расстоянии 2,4 + 1 = 3,4 м от левого конца доски. Получился старый ответ!
• Примечание: при измерении расстояния помните, что расстояния до «левой» точки отсчета отрицательные, а до «правой» – положительные.

Расстояния измеряйте по прямым линиям. Предположим, на качелях два ребенка, но один ребенок намного выше другого, или один ребенок висит под доской, а не сидит на ней. Проигнорируйте такую разницу и измерьте расстояния по прямой линии доски. Измерение расстояний под углами приведет к близким, но не совсем точным результатам.

• В случае задачи с качелями-доской помните, что центр тяжести находится между правым и левым концами доски. Позже вы научитесь вычислять центр тяжести более сложных двумерных систем.

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:

1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур нахо­дится на оси симметрии;

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко опреде­лить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рас­сматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Примеры решения задач

Пример1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

Разбиваем фигуру на три части:

Аналогично определяется у С = 4,5 см.

Пример 2. Найти положение центра тяжести симметричной стержневой фермы ADBE (рис. 116), размеры которой таковы: АВ = 6м, DE = 3 м и EF = 1 м.

Решение

Так как ферма симметричная, то ее центр тяжести лежит на оси симметрии DF. При выбранной (рис. 116) системе коор­динатных осей абсцисса центра тяжести фермы

Неизвестной, следовательно, является лишь ордината у С центра тя­жести фермы. Для ее определения разбиваем ферму на отдельные части (стержни). Длины их определяются из соответствующих треугольников.

Из ΔAEF имеем

Из ΔADF имеем

Центр тяжести каждого стержня лежит в его середине, координаты этих центров легко определяются из чертежа (рис. 116).

Найденные длины и ординаты центров тяжести отдельных частей фермы заносим в таблицу и по формуле

определяем ординату у с центра тяжести данной плоской фермы.

Следовательно, центр тяжести С всей фермы лежит на оси DF симметрии фермы на расстоянии 1,59 м от точки F.

Пример 3. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометри­ческие характеристики известны. Они приводятся в соответствую­щих стандартах.

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необхо­димые данные:

1 - швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А 1 = 10,9 см 2 ;

2 - двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А 2 - 20,2 см 2 ;

3 - лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A 3 = 0,5 10 = 5 см 2 .

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно опреде­лить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести нахо­дится на оси симметрии и координата х С = 0.

3. Определение центра тяжести составного сечения:

Пример 4. Определить координаты центра тяжести сечения, по­казанного на рис. 8, а. Сечение состоит из двух уголков 56x4 и швеллера № 18. Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести. Указать его положение на сечении.

Решение

1. : два уголка 56 х 4 и швеллер № 18. Обозначим их 1, 2, 3 (см. рис. 8, а).

2. Укажем центры тяжести каждого профиля, используя табл. 1 и 4 прил. I, и обозначим их С 1 , С 2 , С 3 .

3. Выберем систему координатных осей. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х проведем через центры тяжести уголков.

4. Определим координаты центра тяжести всего сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, поэтому х с = 0. Координату у с опреде­лим по формуле

Пользуясь таблицами приложения, определим площади каждого профиля и координаты центров тяжести:

Координаты у 1 и у 2 равны нулю, так как ось х проходит через центры тяжести уголков. Подставим полученные значения в формулу для определения у с :

5. Укажем центр тяжести сечения на рис. 8, а и обозначим его буквой С. Покажем расстояние у С = 2,43 см от оси х до точ­ки С.

Поскольку уголки симметрично расположены, имеют одина­ковую площадь и координаты, то А 1 = А 2 , у 1 = у 2 . Поэтому фор­мула для определения у С может быть упрощена:

6. Выполним проверку. Для этого ось х проведем по нижнему краю полки уголка (рис. 8, б). Ось у оставим, как в первом ре­шении. Формулы для определения х С и у С не изменяются:

Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжестей уголков и швеллера изменятся. Выпишем их:

Находим координату центра тяжести:

По найденным координатам х с и у с наносим на рисунок точ­ку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Проверим это. Разница между координатами у с, найденными при первом и втором решении, составляет: 6,51 - 2,43 = 4,08 см.

Это равно расстоянию между осями х при первом и втором решении: 5,6 - 1,52 = 4,08 см.

Ответ: у с = 2,43 см, если ось х проходит через центры тяже­сти уголков, или у с = 6,51 см, если ось х проходит по нижнему краю полки уголка.

Пример 5. Определить координаты центра тяжести сечения, изображенного на рис. 9, а. Сечение состоит из двутавра № 24 и швеллера №.24а. Показать положение центра тяжести на сече­нии.

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката : двутавр и швеллер. Обозначим их цифрами 1 и 2.

3. Укажем центры тяжести каждого профиля С 1 и С 2 , ис­пользуя таблицы приложений.

4. Выберем систему осей координат. Ось х совместим с осью симметрии, а ось у проведем через центр тяжести двутавра.

5. Определим координаты центра тяжести сечения. Координа­та у с = 0, так как ось х совпадает с осью симметрии. Координату х с определим по формуле

По табл. 3 и 4 прил. I и схеме сечения определим

Подставим числовые значения в формулу и получим

5. Нанесем точку С (центр тяжести сечения) по найденным значениям х с и у с (см. рис. 9, а).

Проверку решения необходимо выполнить самостоятельно при положении осей, как показано на рис. 9, б. В результате ре­шения получим х с = 11,86 см. Разница между значениями х с при первом и втором решении равна 11,86 - 6,11 = 5,75 см, что равно расстоянию между осями у при тех же решениях b дв /2 = 5,75 см.

Ответ: х с = 6,11 см, если ось у проходит через центр тяжести двутавра; х с = 11,86 см, если ось у проходит через левые крайние точки двутавра.

Пример 6. Железнодорожный кран опирается на рельсы, расстояние меж­ду которыми АВ = 1,5м (рис. 1.102). Сила тяжести тележки крана G r = 30 кН, центр тяжести тележки находится в точке С, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью рисунка. Сила тяжести лебедки крана Q л = 10 кН приложена в точке D. Сила тяжести противовеса G„=20 кН приложена в точке Е. Сила тяжести стрелы G c = 5 кН приложена в точке Н. Вылет крана относительно линии KL равен 2 м. Определить коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии и какой груз F можно поднять этим краном при условии, что коэффициент устойчивости должен быть не менее двух.

Решение

1. В ненагруженном состоянии у крана возникает опасность опро­кидывания при повороте вокруг рельса А. Следовательно, относительно точки А момент устойчивости

2. Опрокидывающий момент относительно точки А создается силой тяжести противове­са, т. е.

3. Отсюда коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии

4. При нагрузке стрелы крана грузом F возникает опасность опрокидывания крана с поворотом около рельса В. Следовательно, от­носительно точки В момент устойчивости

5. Опрокидывающий момент относитель­но рельса В

6. По условию задачи эксплуатация крана разрешается при коэффициенте устойчивости k B ≥ 2 , т. е.

Контрольные вопросы и задания

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения положения центра тя­жести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3. Повторите формулы для определения положения центра тя­жести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольни­ка, трапеции и половины круга.

4.
Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фи­гуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения (рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).

Тема относительно проста для усвоения, однако крайне важна при изучении курса сопротивления материалов. Главное внимание здесь необходимо обратить на решение задач как с плоскими и геометрическими фигурами, так и со стандартными прокатными профилями.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое центр параллельных сил?

Центр параллельных сил есть точка, че­рез которую проходит линия равнодействую­щей системы параллельных сил, прило­женных в заданных точках, при любом изменении на­правления этих сил в простран­стве.

2. Как найти координаты центра параллельных сил?

Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся теоремой Вариньона.

Относительно оси x

M x (R) = ΣM x (F k) , - y C R = Σy kFk и y C = Σy kFk /Σ Fk .

Относительно оси y

M y (R) = ΣM y (F k) , - x C R = Σx kFk и x C = Σx kFk /Σ Fk .

Чтобы определить координату z C , повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда

M z (R) = ΣM z (F k) , - z C R = Σz kFk и z C = Σz kFk /Σ Fk .

Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид

r C = Σr kFk /Σ Fk .

3. Что такое центр тяжести тела?

Центр Тяжести- неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.), центр тяжести находится в центре симметрии тела. Положение центра тяжести твердого тела совпадает с положением его центра масс.

4. Как найти центр тяжести прямоугольника, треугольника, круга?

Для нахождения центра тяжести треугольника, необходимо нарисовать треугольник – фигуру, состоящую из трех отрезков, соединенных между собой в трех точках. Перед тем, как найти центр тяжести фигуры, необходимо, используя линейку, измерить длину одной стороны треугольника. В середине стороны поставьте отметку, после чего противоположную вершину и середину отрезка соедините линией, которая называется медианой. Тот же самый алгоритм повторите со второй стороной треугольника, а затем и с третьей. Результатом вашей работы станут три медианы, которые пересекаются в одной точке, которая будет являться центром тяжести треугольника. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара - геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольногопараллелепипеда.

5. Как найти координаты центра тяжести плоского составного сечения?

Метод разбиения: если плоскую фигуру можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всей фигуры опредляются по формулам:

Х C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,

где x k , y k - координаты центров тяжести частей фигуры;

s k - их площади;

S = s k - площадь всей фигуры.

6. Центр тяжести

1. В каком случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату расчетным путем?

В первом случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1) и C 2 (x 2 , y 2) . Тогда координаты центра тяжести тела равны

Так как центры фигур лежат на оси ординат (х = 0), то находим только координату Ус .

2 Как учитывается площадь отверстия в фигуре 4 в формуле для определения центра тяжести фигуры?

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

иметь представление о центре параллельных сил и его свойствах;

знать формулы для определения координат центра тяжести плоских фигур;

уметь определять координаты центра тяжести плоских фигур простых геометрических фигур и стандартных прокатных профилей.

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ
Изучив кинематику точки, обратите внимание на то, что прямолинейное движе­ние точки как неравномерное, так и равномерное всегда характеризуется наличием нормального (центростремительного) ускорения. При поступательном движении тела (характеризуемом движением любой его точки) применимы все формулы кинемати­ки точки. Формулы для определения угловых величин тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеют полную смысловую аналогию с формулами для определе­ния соответствующих линейных величин поступательно движущегося тела.

Тема 1.7. Кинематика точки
При изучении темы обратите внимание на основные понятия кинематики: ускорение, скорость, путь, расстояние.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается относительность понятий покоя и движения?

Механическое движение -это изменение движения тела, или (его частей) в пространстве относительно др. тел с течением времени. Полет брошенного камня, вращение колеса- примеры механического движения.

2. Дайте определение основных понятий кинематики: траектории, расстоянию, пути, скорости, ускорению, времени.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве. Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают). При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с.

Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. Другими словами - ускорение - это скорость изменения скорости.
Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.

Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv, то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: а ср = Δv/Δt.

Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени. При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному).
Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt, стремящемся к нулю:

а = lim а ср при t→0 или lim Δv/Δt = dv/dt.

Учитывая, что v = ds/dt, получим: а = dv/dt = d 2 s/dt 2 .

Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени. Единица ускорения - метр, деленный на секунду в квадрате (м/с 2).

Траектория - линия в пространстве, вдоль которой движется материальная точка.
Путь - это длина траектории. Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.

Расстояние определяет положение точки на ее траектории и отсчитывается от некоторого начала отсчета. Расстояние является алгебраической величиной, так как в зависимости от положения точки относительно начала отсчета и от принятого направления оси расстояний оно может быть и положительным, и отрицательным. В отличие от расстояния путь, пройденный точкой, всегда определяется положительным числом. Путь совпадает с абсолютным значением расстояния только в том случае, когда движение точки начинается от начала отсчета и совершается по траектории в одном направлении.

В общем случае движения точки путь равен сумме абсолютных значений пройденных точкой расстояний за данный промежуток времени:

3. Какими способами может быть задан закон движения точки?

1.Естественный способ задания движения точки.

При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении. Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

1) знать траекторию движения;

2) установить начало отсчета на этой кривой;

3) установить положительное направление движения;

4) дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t) .

2.Векторный способ задания движения точки

В этом случае положение точки на плоскости или в пространстве определяется вектором-функцией. Этот вектор откладывается от неподвижной точки, выбранной за начало отсчета, его конец определяет положение движущейся точки.

3.Координатный способ задания движения точки

В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

4. Как направлен вектор истинной скорости точки при криволинейном движе­нии?

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t).

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt.

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю:

v = lim v ср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt.
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v). Из этого следует, что предел вектора условной скорости v п, равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

5. Как направлены касательное и нормальное ускорения точки?

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0

Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости.

6. Какое движение совершает точка, если касательное ускорение равно нулю, а нормальное не изменяется с течением времени?

Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const ), скорость меняется лишь по направлению. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как v = const (рис.б),

а нормальное ускорение не равно нулю, так как r - конечная величина.

7. Как выглядят кинематические графики при равномерном и равнопеременном движении?

При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x . Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX . Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроецировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.

При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости . В координатах . Графиком является наклонная линия.

В результате изучения темы студент должен:

иметь представление о пространстве, времени, траектории; средней и истиной скорости;

знать способы задания движения точки; параметры движения точки по заданной траектории.

Учебник для 7 класса

§ 25.3. Как найти центр тяжести тела?

Напомним, что центром тяжести называют точку приложения силы тяжести. Рассмотрим, как найти на опыте положение центра тяжести плоского тела - скажем, вырезанной из картона фигуры произвольной формы (см. лабораторную работу № 12).

Подвесим картонную фигуру с помощью булавки или гвоздя так, чтобы она могла свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 25.4, а). Тогда эту фигуру можно рассматривать как рычаг с точкой опоры О.

Рис. 25.4. Как найти на опыте центр тяжести плоской фигуры

Когда фигура находится в равновесии, действующие на нее силы уравновешивают друг друга. Это сила тяжести F т, приложенная в центре тяжести фигуры Т, и сила упругости F упр, приложенная в точке О (эта сила приложена со стороны булавки или гвоздя).

Эти две силы уравновешивают друг друга только при условии, что точки приложения этих сил (точки Т и О) лежат на одной вертикали (см. рис. 25.4, а). В противном случае сила тяжести будет поворачивать фигуру вокруг точки О (рис. 25.4, б).

Итак, когда фигура находится в равновесии, центр тяжести лежит на одной вертикали с точкой подвеса О. Это и позволяет определить положение центра тяжести фигуры. Проведем с помощью отвеса вертикаль, проходящую через точку подвеса (синяя линия на рис. 25.4, в). На проведенной линии лежит центр тяжести тела. Повторим этот опыт при другом положении точки подвеса. В результате мы получим вторую линию, на которой лежит центр тяжести тела (зеленая линия на рис. 25.4, г). Следовательно, на пересечении этих линий находится искомый центр тяжести тела (красная точка Г на рис. 25.4, г).

6.1. Общие сведения

Центр параллельных сил
Рассмотрим две параллельные, направленные в одну сторону силы , и , приложенные к телу в точках А 1 и А 2 (рис.6.1). Эта система сил имеет равнодействующую , линия действия которой проходит через некоторую точку С . Положение точки С можно найти с помощью теоремы Вариньона:

Если повернуть силы и около точек А 1 и А 2 в одну сторону и на один и тот же угол, то получим новую систему параллельных сал, имеющих те же модули. При этом их равнодействующая будет также проходить через точку С . Такая точка называется центром параллельных сил.
Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил , приложенных к твердому телу в точках . Эта система имеет равнодействующую .
Если каждую силу системы повернуть около точек их приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то получатся новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками приложения. Равнодействующая таких систем будет иметь тот же модуль R , но всякий раз другое направление. Сложив силы F 1 и F 2 найдем что их равнодействующая R 1 , которая всегда будет проходить через точку С 1 , положение которой определяется равенством . Сложив далее R 1 и F 3 , найдем их равнодействующую, которая всегда будет проходить через точку С 2 , лежащую на прямой А 3 С 2 . Доведя процесс сложения сил до конца придем к выводу, что равнодействующая всех сил действительно всегда будет проходить через одну и ту же точку С , положение которой по отношению к точкам будет неизменным.
Точка С , через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около точек их приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол называется центром параллельных сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Определим координаты центра параллельных сил. Поскольку положение точки С по отношению к телу является неизменным, то ее координаты от выбора системы координат не зависят. Повернем все силы около их приложения так, чтобы они стали параллельны оси Оу и применим к повернутым силам теорему Вариньона. Так как R" является равнодействующей этих сил, то, согласно теореме Вариньона, имеем , т.к. , , получим

Отсюда находим координату центра параллельных сил zc :

Для определения координаты xc составим выражение момента сил относительно оси Oz .

Для определения координаты yc повернем все силы, чтобы они стали параллельны оси Oz .

Положение центра параллельных сил относительно начала координат (рис. 6.2) можно определить его радиусом-вектором:

6.2. Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С , через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике - при использовании правила Верещагина.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:

где Р - вес всего тела; pk - вес частиц тела; xk , yk , zk - координаты частиц тела.
Для однородного тела вес всего тела и любой её части пропорционален объёму P=Vγ , pk =vk γ , где γ - вес единицы объёма, V - объем тела. Подставляя выражения P , pk в формулы определения координат центра тяжести и, сокращая на общий множитель γ , получим:

Точка С , координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема .
Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:

где S - площадь всей пластины; sk - площадь её части; xk , yk - координаты центра тяжести частей пластины.
Точка С в данном случае носит название центра тяжести площади .
Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади относительно осей у и х :

Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:

Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:

где L - длина линии; lk - длина ее частей; xk , yk , zk - координата центра тяжести частей линии.

6.3. Способы определения координат центров тяжести тел

Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия . Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.
2. Разбиение . Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).

Пример . Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке (рис. 6.3). Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.

Рис.6.3

Ответ: x c =17.0см; y c =18.0см.

3. Дополнение . Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.

Пример . Определить центр тяжести круглой пластины имеющий вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).

Рис.6.4

Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза , площадь выреза . Площадь пластины с вырезом ; .
Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1 x , следовательно, yc =0.

4. Интегрирование . Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: .
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:

Формулы для определения координат центра тяжести площади:

Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.

Пример . Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Дуга окружности симметрична оси Ох , следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох , yс = 0.
Согласно формуле для центра тяжести линии:

6. Экспериментальный способ . Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).

Рис.6.6

Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.

6.4. Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур

Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

№	Наименование фигуры	Рисунок
	Дуга окружности : центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc =0). R - радиус окружности.
	Однородный круговой сектор уc =0). где α - половина центрального угла; R - радиус окружности.
	Сегмент : центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc =0). где α - половина центрального угла; R - радиус окружности.
	Полукруг :
	Треугольник : центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 - координаты вершин треугольника
	Конус : центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.