Нормальное распределение непрерывной случайной величины. Нормальное распределение случайной величины и правило трех сигм График нормального распределения случайных величин

Рассмотрим частный случай, когда параметры распределения m = 0 .σ = 1 . Нормальное распределение N(0;1) называется стандартным нормальным распределением. В этом случае плотность распределения

(22)

Кривая распределения, построенная по формуле стандартного нормального распределения имеет колоколообразныи вид, вертикальная ось является осью симметрии, горизонтальная - асимптотой. Максимальное значение ординаты равно

При значениях аргумента х = ± 3 значения функции близки к нулю: при общей площади под кривой распределения, равной единице, в этом диапазоне лежит 99,73%. Заметим, что в диапазоне х = ± 2 лежит 95,44% площади под кривой распределения, а в диапазоне х = ±1 - 68,26%.

Рисунок 3.- Кривая стандартного нормального распределения

При изменении параметра т график сдвигается вправо или влево так, что прямая х= т - ось симметрии

Рисунок 4- Влияние параметра т на вид кривой нормального распределения

При увеличении параметра σ максимум кривой распределения снижается, при уменьшении, а кривая вытягивается вверх, при этом по условию нормировки площадь под кривой распределения остается постоянной (и равной единице)

Рисунок 5 – Влияние параметра σ на вид кривой нормального распределения.

Вновь рассмотрим стандартное нормальное распределение N(0,1). Функция такого распределения иногда называется функцией Лапласа, она имеет специальное обозначение Ф(х).Можно записать уравнение

(23)

Эnа функция табулирована. Например, Ф(2,48) = = 0,9934. График функции показан на рис.

Рисунок 6 - График функции стандартного нормального распределения

Из симметрии графика вытекает соотношение

Ф(-х) = 1-Ф(х)

Табулированы и квантили нормального распределения

Квантиль нормального распределения порядка р - это число u p , для которого Ф(u p) = p .Например,=1,645

Из симметрии графика функции стандартного нормального распределения и формулы вытекает полезное соотношение для квантилей:

u 1- p = u p

Можно установить связь между функцией распределения F(x) для распределения N(m,σ) и функцией стандартного нормального распределения:

(24)

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал от x 1 до x 2 определяется по формуле

Часто в расчетах надо найти вероятность того, что случайная величина Х не слишком сильно отклонится от своего математического ожидания m:

Правило «трех сигм»

Пусть, например ε = 3σ. Используя таблицы функции стандартного нормального распределения найдем:

поэтому вероятность того, что случайная величина отклонится от математического ожидания больше, чем на Зσ, ничтожно мала:

Такое событие практически невозможно. В связи с этим на практике часто используется так называемое правило «трех сигм» : отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания, как правило, не превышает утроенного стандартного отклонения.

Рассмотрим применение свойств нормального распределения

Пример.1 На станке-автомате изготавливаются валики номинальным диаметром 10 мм. Стандартное отклонение, характеризующее точность станка, составляет σ = 0,03 мм. Сколько в среднем валиков из ста удовлетворяют стандарту, если для этого требуется, чтобы диаметр отклонялся от номинального не более чем на 0,05 мм?

Файл примера

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .

Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из теории вероятностей.

Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет :

Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) - является , и σ ( сигма) - является (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ - разброс относительно центра (среднего).

Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название - NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через N (μ; σ 2).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с μ=0 и σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).

Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .

Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .

Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется стандартного нормального распределения .

В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% - в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

= НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)

которая вернет значение 68,2689% - именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

= 2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1

Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ . Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. .

Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Задачи

Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х (или ). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна , то мы знаем , т.е. μ. Чтобы найти нужно использовать . Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

по сравнению с другими видами распределений. Главной особенностью этого распределения является то, что к этому закону стремятся все другие законы распределений при бесконечном повторении количества испытаний. Как получается это распределение?

Представим себе, что, взяв ручной динамометр, Вы расположились в самом людном месте Вашего города. И каждому, кто проходит мимо, Вы предлагаете измерить свою силу, сжав динамометр правой или левой рукой. Показания динамометра Вы аккуратно за-писываете. Через некоторое время, при достаточно большом количестве испытаний, Вы нанесли на ось абсцисс показания динамометра, а на ось ординат – количество людей, кото-рые "выжали" это показание. Полученные точки соединили плавной линией. В результате получается кривая, изображенная на рис.9.8 . Вид этой кривой не будет особо изменяться при увеличении времени опыта. Более того, с некоторого момента новые значения будут только уточнять кривую, не изменяя ее формы.

Рис. 9.8.

Теперь переместимся с нашим динамометром в атлетический зал и повторим эксперимент. Теперь максимум кривой сместится вправо, левый конец будет несколько затянут, в то время как правый конец ее будет более крутой (рис.9.9).

Рис. 9.9.

Заметим, что максимальная частота для второго распределения (точка В) будет ниже, чем максимальная частота первого распределения (точка А). Это можно объяснить тем, что общее количество людей, посещающих атлетический зал, будет меньше, чем количество людей, которое прошли возле экспериментатора в первом случае (в центре города в достаточно людном месте). Максимум сместился вправо, так как атлетические залы посещают физически более сильные люди по сравнению с общим фоном.

И, наконец, посетим школы, детские сады и дома престарелых с той же целью: выявить силу рук посетителей этих мест. И опять кривая распределения будет иметь похожую форму, но теперь, очевидно, более крутым будет ее левый конец, а правый более затянут. И как во втором случае, максимум (точка С) будет ниже точки А (рис.9.10).

Рис. 9.10.

Это замечательное свойство нормального распределения – сохранять форму кривой плотности распределения вероятностей (рис. 8 – 10) было замечено и описано в 1733 году Муавром, а затем исследовано Гауссом.

В научных исследованиях, в технике, в массовых явлениях или экспериментах, когда речь идет о многократно повторяющихся случайных величинах при неизменных условиях опыта, говорят, что результаты испытаний испытывают случайное рассеяние, подчиняющееся закону нормальной кривой распределения

(21)

Где - это наиболее часто встречающееся событие. Как правило, в формулу (21) вместо параметра ставят . Причем, чем длин-нее экспериментальный ряд, тем меньше параметр будет отличаться от математического ожидания. Площадь под кривой (рис.9.11) при-нимается равной единице. Площадь , отвечающая какому-либо интервалу оси абсцисс, численно равна вероятности попадания случайного результата в данный интервал .

Рис. 9.11.

Функция нормального распределения имеет вид

(22)

Заметим, что нормальная кривая (рис.9.11) симметрична относительно прямой и асимптотически приближается к оси ОХ при .

Вычислим математическое ожидание для нормального закона

(23)

Свойства нормального распределения

Рассмотрим основные свойства этого важнейшего распределения.

Свойство 1 . Функция плотности нормального распределения (21) определения на всей оси абсцисс.

Свойство 2 . Функция плотности нормального распределения (21) больше нуля для любого из области определения ().

Свойство 3 . При бесконечном увеличении (уменьшении) функция распределения (21) стремится к нулю .

Свойство 4 . При функция распределения , заданная (21), имеет наибольшее значение , равное

(24)

Свойство 5 . График функции (рис.9.11) симметричен относительно прямой .

Свойство 6 . График функции (рис.9.11) имеет по две точки перегиба симметричные относительно прямой :

(25)

Свойство 7 . Все нечетные центральные моменты равны нулю. Заметим, что используя свойство 7, определяют асимметрию функции по формуле . Если , то делают вывод , что исследуемое распределение симметрично относительно прямой . Если , то говорят, что ряд смещен вправо (более пологая правая ветвь графика или затянута). Если , тогда считают, что ряд смещен влево (более пологая левая ветвь графика рис.9.12).

Рис. 9.12.

Свойство 8 . Эксцесс распределения равен 3. Часто на практике вычисляют и по близости этой величины к нулю определяют степень "сжатия" или "размытости" графика (рис.9.13). А так как связан с , то, в конечном итоге характеризует степень рассеяния частоты данных. А так как определяет

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и, например, одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию на сумму резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах её закон распределения.

Теоремы, устанавливающие нормальный закон как предельный для суммы независимых равномерно малых случайных слагаемых, будут подробнее рассмотрены в главе 13.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид (рис. 6.1.1). Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке ; по мере удаления от точки плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Выясним смысл численных параметров и , входящих в выражение нормального закона (6.1.1); докажем, что величина есть не что иное, как математическое ожидание, а величина - среднее квадратическое отклонение величины . Для этого вычислим основные числовые характеристики величины - математическое ожидание и дисперсию.

Применяя замену переменной

Нетрудно убедиться, что первый из двух интервалов в формуле (6.1.2) равен нулю; второй представляет собой известный интеграл Эйлера-Пуассона:

Следовательно,

т.е. параметр представляет собой математическое ожидание величины . Этот параметр, особенно в задачах стрельбы, часто называют центром рассеивания (сокращенно – ц. р.).

Вычислим дисперсию величины :

.

Применив снова замену переменной

Интегрируя по частям, получим:

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так как при убывает быстрее, чем возрастает любая степень ), второе слагаемое по формуле (6.1.3) равно , откуда

Следовательно, параметр в формуле (6.1.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение величины .

Выясним смысл параметров и нормального распределения. Непосредственно из формулы (6.1.1) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания . Это ясно из того, что при изменении знака разности на обратный выражение (6.1.1) не меняется. Если изменять центр рассеивания , кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рис. 6.1.2). Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс.

Размерность центра рассеивания – та же, что размерность случайной величины .

Параметр характеризует не положение, а самую форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна ; при увеличении максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. На рис. 6.1.3 показаны три нормальные кривые (I, II, III) при ; из них кривая I соответствует самому большому, а кривая III – самому малому значению . Изменение параметра равносильно изменению масштаба кривой распределения – увеличению масштаба по одной оси и такому же уменьшению по другой.

Определение 1

Случайная величина $X$ имеет нормальное распределение (распределение Гаусса), если плотность её распределения определяется формулой:

\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}\]

Здесь $aϵR$ -- математическое ожидание, а $\sigma >0$ -- среднее квадратическое отклонение.

Плотность нормального распределения.

Покажем, что эта функция действительно является плотностью распределения. Для этого проверим следующее условие:

Рассмотрим несобственный интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}dx}$.

Сделаем замену: $\frac{x-a}{\sigma }=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

Так как $f\left(t\right)=e^{\frac{-t^2}{2}}$ четная функция, то

Равенство выполняется, значит, функция $\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}$ действительно является плотностью распределения некоторой случайной величины.

Рассмотрим некоторые простейшие свойства функции плотности вероятности нормального распределения $\varphi \left(x\right)$:

1. График функции плотности вероятности нормального распределения симметричен относительно прямой $x=a$.
2. Функция $\varphi \left(x\right)$ достигает максимума при $x=a$, при этом $\varphi \left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(a-a)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$
3. Функция $\varphi \left(x\right)$ убывает, при $x>a$, и возрастает, при $x
4. Функция $\varphi \left(x\right)$ имеет точки перегиба при $x=a+\sigma $ и $x=a-\sigma $.
5. Функция $\varphi \left(x\right)$ асимптотически приближается к оси $Ox$ при $x\to \pm \infty $.
6. Схематический график выглядит следующим образом (рис. 1).

Рисунок 1. Рис. 1. График плотности нормального распределения

Заметим, что, если $a=0$, то график функции симметричен относительно оси $Oy$. Следовательно, функция $\varphi \left(x\right)$ четна.

Функция нормального распределения вероятности.

Для нахождения функции распределения вероятности при нормальном распределении воспользуемся следующей формулой:

Следовательно,

Определение 2

Функция $F(x)$ называется стандартным нормальным распределением, если $a=0,\ \sigma =1$, то есть:

Здесь $Ф\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ - функция Лапласса.

Определение 3

Функция $Ф\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ называется интегралом вероятности.

Числовые характеристики нормального распределения.

Математическое ожидание: $M\left(X\right)=a$.

Дисперсия : $D\left(X\right)={\sigma }^2$.

Среднее квадратическое распределение: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

Пример 1

Пример решения задачи на понятие нормального распределения.

Задача 1 : Длина пути $X$ представляет собой случайную непрерывную величину. $X$ распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно $4$ километра, а среднее квадратическое отклонение равно $100$ метров.

1. Найти функцию плотности распределения $X$.
2. Построить схематически график плотности распределения.
3. Найти функцию распределения случайной величины $X$.
4. Найти дисперсию.

1. Для начала представим все величины в одном измерении: 100м=0,1км

Из определения 1, получим:

\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,1\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-4)}^2}{0,02}}\]

(так как $a=4\ км,\ \sigma =0,1\ км)$

1. Используя свойства функции плотности распределения, имеем, что график функции $\varphi \left(x\right)$ симметричен относительно прямой $x=4$.

Максимум функция достигает в точке $\left(a,\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)=(4,\ \frac{1}{0,1\sqrt{2\pi }})$

Схематический график имеет вид:

Рисунок 2.

1. По определению функции распределения $F\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int\limits^x_{-\infty }{e^{\frac{-{(t-a)}^2}{2{\sigma }^2}}dt}$, имеем:

\

1. $D\left(X\right)={\sigma }^2=0,01$.