Основные свойства двойного интеграла кратко. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1° . Аддитивность . Если функция f (x , y ) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D 1 и D 2 , то функция f (x , y ) интегрируема в каждой из областей D 1 и D 2 , причем

2° . Линейное свойство . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f (x , y ) + β · g (x , y )] также интегрируема в области D , причем

3° . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , то и произведение этих функций интегрируемо в D .

4° . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f (x , y ) ≤ g (x , y ), то

5° . Если функция f (x , y ) интегрируема в области D , то и функция |f (x , y )| интегрируема в области D , причем

(Конечно, из интегрируемости |f (x , y )| в D не вытекает интегрируемость f (x , y ) в D .)

6° . Теорема о среднем значении . Если обе функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , функция g (x , y ) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f (x , y ) в области D , то найдется число μ , удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЛЕКЦИЯ 1

Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f (x,y ) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y =f (x ) или x =g(y ), где f (x ) и g (y ) – непрерывные функции.

Разобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i -го участка обозначим символом Ds i . На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P i , и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x i ,y i ). Составим интегральную сумму для функции f (x,y ) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P i , умножим их на площади соответствующих участков Ds i и просуммируем все полученные результаты:

Назовем диаметром diam (G ) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Двойным интегралом функции f (x,y ) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом

Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P i . Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f (x,y ) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования .

Пусть функция f (x,y ) интегрируема в области D . Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи верти­кальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна Ds i =Dx i Dy i . Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy . Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде

Замечание . Если подынтегральная функция f (x,y )º1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:

Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства двойных интегралов.

1 0 . Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов :

и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла :

2 0 . Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части :

3 0 . Теорема о среднем. Если функция f(x,y ) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (x,h), что :

Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.

Свойства двойных интегралов.

Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D , то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем (24.4)

2. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y) , то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y) , и при этом

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то

(24.6)

Докажем еще несколько свойств двойного интеграла :

4. Если область D разбита на две области D 1 и D 2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D , то

(24.7) Доказательство . Интегральную сумму по области D можно представить в виде:

где разбиение области D проведено так, что граница между D 1 и D 2 состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (24.7).

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) | , и имеет место неравенство

(24.8)

Доказательство.

откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (24.8)

6. где S D – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m ≤ f(x, y) ≤ M ,

то (24.9)

Доказательство.

Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства

Следствие.

Если разделить все части неравенства (24.9) на D , можно получить так называемую теорему о среднем:

В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой области (х 0 , у 0 ), в которой f (х 0 , у 0 ) = μ , то есть

-

Еще одна формулировка теоремы о среднем.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим тело V , ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.

z=f(x,y)

V

y P i D Рис.2.

Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔS i области D , а высотами – отрезки длиной f (P i ), где точки P i принадлежат ΔS i . Переходя к пределу при , получим, что

(24.11)

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y) , а снизу – областью D .

Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.

Рассмотрим область D , ограниченную линиями x = a, x = b (a < b ), где φ 1 (х ) и φ 2 (х ) непрерывны на [a, b ]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D , пересекает границу области в двух точках: N 1 и N 2 (рис.1). Назовем такую область правильной в на-

у правлении оси Оу . Аналогично определя-

y=φ 2 (x )ется область, правильная в направлении

N 2 оси Ох . Область, правильную в направле-

Нии обеих координатных осей, будем на-

D зывать просто правильной. Например,

правильная область изображена на рис.1.

y=φ 1 (x ) N 1

O a b x

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D . Рассмотрим выражение

, (24.12)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D . Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у , считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х :

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b . В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 1. Если область D , правильная в направлении Оу , разбита на две области D 1 и D 2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох , то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D 1 и D 2:

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D 1 и D 2 , правильные в направлении Оу . Тогда

+

+

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D 1 и D 2 (рис.2). Обозначим через M 1 (a 1 , h ) и M 2 (b 1 , h ) точки пересечения прямой y = h с гра-ницей L области D .

y Область D 1 ограничена непрерывными линиями

y=φ 2 (x ) 1) y = φ 1 (x );

D 2 2) кривой А 1 М 1 М 2 В , уравнение которой запишем

h M 1 M 2 y = φ 1 *(x ), где φ 1 *(х ) = φ 2 (х ) при а ≤ х ≤ а 1 и

A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b , φ 1 *(х ) = h при а 1 ≤ х ≤ b 1 ;

3) прямыми x = a , x = b .

Область D 2 ограничена линиями y = φ 1 *(x ),

A у = φ 2 (х ), а 1 ≤ х ≤ b 1 .

y=φ 1 (x ) Применим к внутреннему интегралу теорему о

разбиении промежутка интегрирования:

O a a 1 b 1 b

+

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

+ + .

Поскольку φ 1 *(х ) = φ 2 (х ) при а ≤ х ≤ а 1 и b 1 ≤ x ≤ b , первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

I D = , то есть .

Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:

1. Если функции и
интегрируемы в области
, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3. Если
интегрируема в области
, а эта область разбита на две непересекающиеся областии
, то

.

4. Если
и
интегрируемы в области
, в которой

, то

.

5. Если в области
функция
удовлетворяет неравенствам


,где
и
некоторые действительные числа, то

,

где – площадь области
.

Доказательства этих свойств аналогичны доказательству соответствующих теорем для определенного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах

Пусть требуется вычислить двойной интеграл
, где область- прямоугольник, определяемый неравенствами,.

Предположим, что
непрерывна в этом прямоугольнике и принимает в нем неотрицательные значения, тогда данный двойной интеграл равен объему тела с основанием, ограниченного сверху поверхностью
, с боков - плоскостями
,
,
,
:

.

С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

,

где
- площадь сечения данного тела плоскостью, проходящей через точкуи перпендикулярной к оси
. А так как рассматриваемое сечение является криволинейной трапецией
, ограниченной сверху графиком функции
, гдефиксировано, а, то

.

Из этих трех равенств следует, что

.

Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.

Замечание. Можно доказать, что последняя формула верна и при
, а также в случае, когда функция
меняет знак в указанном прямоугольнике.

Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:

.

Аналогично можно показать, что

.

Из выше сказанного следует, что

.

Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной (или правильной) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.

Предположим, что ограниченная область

и ограничена сверху графиком функции
, снизу - графиком функции
. ПустьR{,} - минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область
.

Пусть в области
определена и непрерывна функция
. Введем новую функцию:

,

тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла

.

И, следовательно,

.

Поскольку отрезок
целиком принадлежит области
то, следовательно,
при


, а еслилежит вне этого отрезка, то
.

При фиксированном можем записать:

.

Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то

.

Следовательно,

.

Из чего получаем формулу для вычисления двойного интеграла по области, стандартной относительно оси
путем сведения к повторному интегралу:

.

Если область
является стандартной в направлении оси
и определяется неравенствами,

, аналогично можно доказать, что

.

Замечание. Для области
, стандартной в направлении осей
и
, будут выполнены оба последних равенства, поэтому

По этой формуле осуществляется изменение порядка интегри­рования при вычислении соответствующего двойного интеграла.

Замечание. Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.

Пример . Вычислить двойной интеграл
по области
, ограниченной линиями:
,
,
.

Решение.

Данная область является стандартной как относительно оси
, так и относительно оси
.

Вычислим интеграл, считая область стандартной относительно оси
.

.

Замечание. Если вычислить интеграл, считая область стандартной относительно оси
, мы получим тот же результат:

.

Пример . Вычислить двойной интеграл
по области
, ограниченной линиями:
,
,
.

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Данная область является стандартной относительно оси
.

.

Пример . Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

Решение. Изобразим на рисунке область интегрирования.

Из пределов интегрирования находим линии, ограничивающие область интегрирования: ,
,
,
. Для изменения порядка интегрирования выразимкак функции оти найдем точки пересечения:

,
,
.

Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.

.

Касательная и нормаль к поверхности

Определение. Нормалью к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение:

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +Dх, у 0 +Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Пусть область D ограничена линией r = r() и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y

Соотношениями (рис. 5). В этом случае

Замечание. Если область D в декартовых координатах задается уравнением, содержащим бином , например, и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.

Двойной интеграл. Основные определения и свойства.

Двойные интегралы.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх i , а по оси у – на Dу i . Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S i = Dx i × Dy i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i , y i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D i , тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S i стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что S i = Dx i × Dy i получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р i , то, считая все площади S i одинаковыми, получаем формулу:

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла.

3) Если D = D 1 + D 2 , то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), то .

№43 Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

Представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).
В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox , Oy и Oz , соответственно.

Введем векторную функцию , определенную на кривой C , так, чтобы для скалярной функции

Существовал криволинейный интегра Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где − единичный вектор касательной к кривой C .
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

Где.
Если кривая C лежит в плоскости Oxy , то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейногоинтеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами: Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B . Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A . Тогда

Если C − объединение кривых C 1 и C 2 (рисунок 2 выше), то Если кривая C задана параметрически в виде , то Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнениTм (предполагается, что R = 0 и t = x ), то последняя формула записывается в виде

№49Поверхность F задана явно z = z(x,y), (x,y)Î D (компакт),

где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, фунуция f(x,y,z) определена и непрерывна на F. Тогда существует интеграл , равный

Доказательство. Для площадей получаем

Тогда интегральные суммы будут равны

Первая из сумм является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее следует из равномерной непрерывности функции f(x,y,z(x,y)) на D.

№40(продолжение) Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА

1. , где – длина кривой .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е.

3. Криволинейный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е.

4. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то

(свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода).

5. Если всюду на кривой функция (), то

6. Если всюду на кривой (),

7. (следствие свойств 6 и 1) Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на кривой , то

где – длина кривой .

8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция непрерывна на кривой , то найдется такая точка , что справедливо равенство

где – длина кривой .

№42Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: -

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

· моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

№38(2) Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1.Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2.Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U" в пространстве uvw;

3.Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

№38 Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;

φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;

θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).

Поверхность

Выберем на гладкой поверхности (замк-нутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в перво-начальное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторон-ней (примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке одно-значно определяет направление нормали во всех точках поверхности.

Определение

Совокупность всех точек поверхности содинаковымнаправлени-ем нормали называется стороной поверхности.

Ориентация поверхности.

Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверх-ности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Поток векторного поля.

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода , (13.1)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Замечание 1.

Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.

Замечание 2.

Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).

№53 Поверхностный интеграл второго рода. Определение и св-ва.

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом

(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость

Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где суть функции от , определенные в точках поверхности .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

Где - единичный вектор нормали поверхности - орт.

Свойства

1. Линейность: ;

2. Аддитивность: ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

№60 Опера́торна́бла (оператор Гамильтона) - векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом: где - единичные векторы по осям x, y, z.

Свойства оператора набла. Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.Если умножить вектор на скаляр φ, то получится вектор который представляет собой градиент функции. Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

то есть дивергенция вектора . Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :

Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использованными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо нередко пишут , а вместо пишут ; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом: Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле. Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку: Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

№61 Векторными дифференциальными операциями второго порядка называются следующие пять операций:

1. где - оператор Лапласа.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Здесь - это векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к каждой проекции вектора .

- - - - - - - - - - - - - - -