Тригонометрия. Обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс , арксеканс и арккосеканс .

Поскольку исходные тригонометрические функции периодические, то обратные функции, вообще говоря, являются многозначными . Чтобы обеспечить однозначное соответствие между двумя переменными, области определения исходных тригонометрических функций ограничивают, рассматривая лишь их главные ветви . Например, функция \(y = \sin x\) рассматривается лишь в промежутке \(x \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\). На этом интервале обратная функция арксинус определена однозначно.

Функция арксинус
Арксинусом числа \(a\) (обозначается \(\arcsin a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\), при котором \(\sin x = a\). Обратная функция \(y = \arcsin x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений равна \(y \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\).

Функция арккосинус
Арккосинусом числа \(a\) (обозначается \(\arccos a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cos x = a\). Обратная функция \(y = \arccos x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений принадлежит отрезку \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).



Функция арктангенс
Арктангенсом числа a (обозначается \(\arctan a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left({-\pi/2, \pi/2} \right)\), при котором \(\tan x = a\). Обратная функция \(y = \arctan x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область значений арктангенса равна \(y \in \left({-\pi/2, \pi/2} \right)\).



Функция арккотангенс
Арккотангенсом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccot } a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cot x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccot } x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область ее значений находится в интервале \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).



Функция арксеканс
Арксекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arcsec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\sec x = a\). Обратная функция \(y = \text{arcsec } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ {0,\pi /2} \right) \cup \left({\pi /2,\pi } \right]\).



Функция арккосеканс
Арккосекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccsc } a\) или \(\text{arccosec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\csc x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccsc } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ { - \pi /2,0} \right) \cup \left({0,\pi /2} \right]\).



Главные значения функций арксинус и арккосинус (в градусах)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Главные значения функций арктангенс и арккотангенс (в градусах)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text{arccot } x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

Определение и обозначения

Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ π/2 .
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ). Он имеет область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π .
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

	y = arcsin x	y = arccos x
Область определения и непрерывность	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arcsin x		arccos x
	град.	рад.	град.	рад.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. также: Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков :
,
где - многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin t . Интегрируем по частям, учитывая что -π/2 ≤ t ≤ π/2 , cos t ≥ 0 :
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| < 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y
Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
Арктангенс (y = arctg x ) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккотангенс (y = arcctg x ) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

при

при

при

при

при

при

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

На этом уроке мы рассмотрим особенности обратных функций и повторим обратные тригонометрические функции . Отдельно будут рассмотрены свойства всех основных обратных тригонометрических функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В7 и С1 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Теория

Конспект урока

Вспомним, когда мы встречаемся с таким понятием как обратная функция. Например, рассмотрим функцию возведения в квадрат. Пусть у нас есть квадратная комната со сторонами по 2 метра и мы хотим вычислить ее площадь. Для этого по формуле пощади квадрата возводим двойку в квадрат и в результате получаем 4 м 2 . Теперь представим себе обратную задачу: мы знаем площадь квадратной комнаты и хотим найти длины ее сторон. Если мы знаем, что площадь равна все тем же 4 м 2 , то выполним обратное действие к возведению в квадрат - извлечение арифметического квадратного корня, который нам даст значение 2 м.

Таким образом, для функции возведения числа в квадрат обратной функцией является извлечение арифметического квадратного корня.

Конкретно в указанном примере у нас не возникло проблем с вычислением стороны комнаты, т.к. мы понимаем, что это положительное число. Однако если оторваться от этого случая и рассмотреть задачу более общим образом: «Вычислить число, квадрат которого равен четырем», мы столкнемся с проблемой - таких чисел два. Это 2 и -2, т.к. тоже равна четырем. Получается, что обратная задача в общем случае решается неоднозначно, и действие определения числа, которое в квадрате дало известное нам число? имеет два результата. Это удобно показать на графике:

А это значит, что такой закон соответствия чисел мы не можем назвать функцией, поскольку для функции одному значению аргумента соответствует строго одно значение функции.

Для того чтобы ввести именно обратную функцию к возведению в квадрат и было предложено понятие арифметического квадратного корня, который дает только неотрицательные значения. Т.е. для функции обратной функцией считается .

Аналогично существуют и функции, обратные к тригонометрическим, их называют обратными тригонометрическими функциями . К каждой из рассмотренных нами функций существует своя обратная, их называют: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс .

Эти функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, с использованием таблицы значений основных тригонометрических функций можно вычислить синус какого угла равен . Находим это значение в строке синусов и определяем, какому углу оно соответствует. Первое, что хочется ответить, что это угол или , но если у вас в распоряжении таблица значений до , вы тут же заметите еще одного претендента на ответ, - это угол или . А если мы вспомним о периоде синуса, то поймем, что углов, при которых синус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для косинусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью.

Т.е. мы сталкиваемся с той же проблемой, которая была для вычисления значения аргумента по значению функции для действия возведения в квадрат. И в данном случае для обратных тригонометрических функций было введено ограничение области значений, которые они дают при вычислении. Это свойство таких обратных функций называют сужением области значений , и оно необходимо для того, чтобы их можно было называть функциями.

Для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно. Например, арксинус возвращает значения углов в диапазоне от до .

Умение работать с обратными тригонометрическими функциями нам пригодится при решении тригонометрических уравнений.

Сейчас мы укажем основные свойства каждой из обратных тригонометрических функций. Кто захочет познакомиться с ними более подробно, обратитесь к главе «Решение тригонометрических уравнений» в программе 10 класса.

Рассмотрим свойства функции арксинус и построим ее график.

Определение. Арксинусом числа x

Основные свойства арксинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арксинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная Эту формулу желательно отдельно запомнить, т.к. она полезна для преобразований. Также отметим, что из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

Построим график функции :

Обратим внимание, что никакой из участков графика функции не повторяется, а это означает, что арксинус не является периодической функцией, в отличие от синуса. То же самое будет относиться и ко всем остальным аркфункциям.

Рассмотрим свойства функции арккосинус и построим ее график.

Определение. Арккосинусом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем как ограничения на значения синуса, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арккосинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арккосинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида . Эту формулу тоже желательно запомнить, она пригодится нам позже;

4) Функция монотонно убывает.

Построим график функции :

Рассмотрим свойства функции арктангенс и построим ее график.

Определение. Арктангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем т.к. ограничений на значения тангенса нет, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арктангенса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арктангенс:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная . Эта формула тоже полезна, как и аналогичные ей. Как в случае с арксинусом, из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

4) Функция монотонно возрастает.

Построим график функции :