Система трех дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

На дворе знойная пора, летает тополиный пух, и такая погода располагает к отдыху. За учебный год у всех накопилась усталость, но ожидание летних отпусков/каникул должно воодушевлять на успешную сдачу экзаменов и зачетов. По сезону тупят, кстати, и преподаватели, поэтому скоро тоже возьму тайм-аут для разгрузки мозга. А сейчас кофе, мерный гул системного блока, несколько дохлых комаров на подоконнике и вполне рабочее состояние… …эх, блин,… поэт хренов.

К делу. У кого как, а у меня сегодня 1 июня, и мы рассмотрим ещё одну типовую задачу комплексного анализа – нахождение частного решения системы дифференциальных уравнений методом операционного исчисления . Что необходимо знать и уметь, чтобы научиться её решать? Прежде всего, настоятельно рекомендую обратиться к уроку. Пожалуйста, прочитайте вводную часть, разберитесь с общей постановкой темы, терминологией, обозначениями и хотя бы с двумя-тремя примерами. Дело в том, что с системами диффуров всё будет почти так же и даже проще!

Само собой, вы должны понимать, что такое система дифференциальных уравнений , что значит найти общее решение системы и частное решение системы.

Напоминаю, что систему дифференциальных уравнений можно решить «традиционным» путём: методом исключения или с помощью характеристического уравнения . Способ же операционного исчисления, о котором пойдет речь, применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям .

Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях:

Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

1) Речь идёт только о частном решении .
2) В скобочках начальных условий находятся строго нули , и ничто другое.

Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом . Из справочных материалов потребуется та же таблица оригиналов и изображений .

Пример 1

, ,

Решение: Начало тривиально: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ данный переход обычно прост:

Используя табличные формулы №№1,2, учитывая начальное условие , получаем:

Что делать с «игреками»? Мысленно меняем в таблице «иксы» на «игреки». Используя те же преобразования №№1,2, учитывая начальное условие , находим:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует или . В правые части уравнений необходимо «оформить» все остальные слагаемые:

Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:

При этом на первых позициях следует разместить , а на вторых позициях :

Полученную систему уравнений с двумя неизвестными обычно решают по формулам Крамера . Вычислим главный определитель системы:

В результате расчёта определителя получен многочлен .

Важный технический приём! Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение , но, у многих читателей намётанный ко второму курсу глаз заметит, что .

Таким образом, наш главный определитель системы:

Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:

В итоге получаем операторное решение системы :

Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом . Предчувствие вас не обмануло – в дело вступает старый добрый метод неопределённых коэффициентов , с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:

1) Разбираемся с первой дробью:

Таким образом:

2) Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):

Таким образом:

Чайникам советую записывать разложенное операторное решение в следующем виде:
– так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.

Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:

Ответ:

Проверка ответа осуществляется по стандартной схеме, которая детально разобрана на уроке Как решить систему дифференциальных уравнений? Всегда старайтесь её выполнять, чтобы забить большой плюс в задание.

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи и ответ в конце урока.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений алгоритмически ничем не отличается, разве что технически будет чуть сложнее:

Пример 3

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа, учитывая начальные условия , перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Но это ещё не всё, в правых частях уравнений есть одинокие константы. Что делать в тех случаях, когда константа находится сама по себе в полном одиночестве? Об этом уже шла речь на уроке Как решить ДУ операционным методом . Повторим: одиночные константы следует мысленно домножить на единицу , и к единицам применить следующее преобразование Лапласа:

Подставим найденные изображения в исходную систему:

Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют , в правых частях разместим остальные слагаемые:

В левых частях проведём вынесение за скобки, кроме того, приведём к общему знаменателю правую часть второго уравнения:

Вычислим главный определитель системы, не забывая, что результат целесообразно сразу же попытаться разложить на множители:
, значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:



Таким образом, операторное решение системы:

Иногда одну или даже обе дроби можно сократить, причём, бывает, так удачно, что и раскладывать практически ничего не нужно! А в ряде случаев сразу получается халява, к слову, следующий пример урока будет показательным образцом.

Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.

Сокрушаем первую дробь:

И добиваем вторую:

В результате операторное решение принимает нужный нам вид:

С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:

Как видите, в неоднородной системе приходится проводить более трудоёмкие вычисления по сравнению с однородной системой. Разберём еще пару примеров с синусами, косинусами, и хватит, поскольку будут рассмотрены практически все разновидности задачи и большинство нюансов решения.

Пример 4

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями ,

Решение: Данный пример я тоже разберу сам, но комментарии будут касаться только особенных моментов. Предполагаю, вы уже хорошо ориентируетесь в алгоритме решения.

Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Полученный многочлен не раскладывается на множители. Что делать в таких случаях? Ровным счётом ничего. Сойдёт и такой.

В результате операторное решение системы:

А вот и счастливый билет! Метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно вообще! Единственное, в целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Многие системы дифференциальных уравнений, как однородные, так и неоднородные, могут быть сведены к одному уравнению относительно одной неизвестной функции. Покажем метод на примерах.

Пример 3.1. Решить систему

Решение. 1) Дифференцируя по t первое уравнение и используя второе и третье уравнения для замены и, находим

Полученное уравнение дифференцируем по еще раз

1) Составляем систему

Из первых двух уравнений системы выразим переменные ичерез
:

Подставим найденные выражения для ив третье уравнение системы

Итак, для нахождения функции
получили дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами

.

2) Интегрируем последнее уравнение стандартным методом: составляем характеристическое уравнение
, находим его корни
и строим общее решение в виде линейной комбинации экспонент, учитывая кратность одного из корней:.

3) Далее, чтобы найти две оставшиеся функции
и
, дифференцируем дважды полученную функцию

Используя связи (3.1) между функциями системы, восстанавливаем оставшиеся неизвестные

.

Ответ. ,
,.

Может оказаться, что все известные функции кроме одной исключаются из системы третьего порядка уже при однократном дифференцировании. В таком случае, порядок дифференциального уравнения для ее нахождения будет меньше, чем число неизвестных функций в исходной системе.

Пример 3.2. Проинтегрировать систему

(3.2)

Решение. 1) Дифференцируя по первое уравнение, находим

Исключая переменные ииз уравнений

будем иметь уравнение второго порядка относительно

(3.3)

2) Из первого уравнения системы (3.2) имеем

(3.4)

Подставляя в третье уравнение системы (3.2) найденные выражения (3.3) и (3.4) для и, получим дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции

Интегрируя это неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами первого порядка, найдем
Используя (3.4), находим функцию

Ответ.
,,
.

Задание 3.1. Решить однородные системы сведением к одному дифференциальному уравнению.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью нахождения фундаментальной системы решений

Общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений может быть найдено как линейная комбинация фундаментальных решений системы. В случае систем с постоянными коэффициентами для нахождения фундаментальных решений могут быть использованы методы линейной алгебры.

Пример 3.3. Решить систему

(3.5)

Решение. 1) Перепишем систему в матричном виде

. (3.6)

2) Будем искать фундаментальное решение системы в виде вектора
. Подставляя функции
в (3.6) и сокращая на, получим

, (3.7)

то есть число должно быть собственным числом матрицы
, а векторсоответствующим собственным вектором.

3) Из курса линейной алгебры известно, что система (3.7) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю

,

то есть . Отсюда находим собственные значения
.

4) Найдем соответствующие собственные векторы. Подставляя в (3.7) первое значение
, получим систему для нахождения первого собственного вектора

Отсюда получаем связь между неизвестными
. Нам достаточно выбрать одно нетривиальное решение. Полагая
, тогда
, то есть векторявляется собственным для собственного значения
, а вектор функции
фундаментальным решением заданной системы дифференциальных уравнений (3.5). Аналогично, при подстановке второго корня
в (3.7) имеем матричное уравнение для второго собственного вектора
. Откуда получаем связь между его компонентами
. Таким образом, имеем второе фундаментальное решение

.

5) Общее решение системы (3.5) строится как линейная комбинация двух полученных фундаментальных решений

или в координатном виде

.

Ответ.

.

Задание 3.2. Решить системы, находя фундаментальную систему решений.

................................ 1

1. Введение.................................................................................................... 2

2. Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.......................... 3

3. Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка......... 2

4. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.............................................................................................. 3

5. Системы неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами.............................................................................................. 2

Преобразование Лапласа ................................................................................ 1

6. Введение.................................................................................................... 2

7. Свойства преобразования Лапласа......................................................... 3

8. Приложения преобразования Лапласа................................................... 2

Введение в интегральные уравнения ............................................................... 1

9. Введение.................................................................................................... 2

10. Элементы общей теории линейных интегральных уравнений............. 3

11. Понятие об итерационном решении интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.......................................................................................................................... 2

12. Уравнение Вольтерра............................................................................ 2

13. Решение уравнений Вольтерра с разностным ядром с использованием преобразования Лапласа................................................................................ 2

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Введение

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений состоят из нескольких уравнений, содержащих производные неизвестных функций одного переменного. В общем случае такая система имеет вид

где – неизвестные функции, t – независимая переменная, – некоторые заданные функции, индекс нумерует уравнения в системе. Решить такую систему – значит найти все функции , удовлетворяющие этой системе.

В качестве примера рассмотрим уравнение Ньютона, описывающее движение тела массы под действием силы :

где – вектор, проведенный из начала координат к текущему положению тела. В декартовой системе координат его компонентами являются функции Таким образом, уравнение (1.2) сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка

Для нахождения функций в каждый момент времени , очевидно, надо знать начальное положение тела и его скорость в начальный момент времени – всего 6 начальных условий (что отвечает системе из трёх уравнений второго порядка):

Уравнения (1.3) вместе с начальными условиями (1.4) образуют задачу Коши, которая, как ясно из физических соображений, имеет единственное решение, дающее конкретную траекторию движения тела, если сила удовлетворяет разумным критериям гладкости.

Важно отметить, что эта задача может быть сведена к системе из 6 уравнений первого порядка введением новых функций. Обозначим функции как , и введем три новые функции , определенные следующим образом

Систему (1.3) теперь можно переписать в виде

Таким образом, мы пришли к системе из шести дифференциальных уравнений первого порядка для функций Начальные условия для этой системы имеют вид

Первые три начальных условия дают начальные координаты тела, последние три – проекции начальной скорости на оси координат.

Пример 1.1. Свести систему двух дифференциальных уравнений 2-го порядка

к системе из четырех уравнений 1-го порядка.

Решение. Введем следующие обозначения:

При этом исходная система примет вид

Еще два уравнения дают введенные обозначения:

Окончательно, составим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, эквивалентную исходной системе уравнений 2-го порядка

Эти примеры иллюстрируют общую ситуацию: любая система дифференциальных уравнений может быть сведена к системе уравнений 1-го порядка. Таким образом, в дальнейшем мы можем ограничиться изучением систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

В общем виде систему из n дифференциальных уравнений 1-го порядка можно записать следующим образом:

где – неизвестные функции независимой переменной t , – некоторые заданные функции. Общее решение системы (2.1) содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:

При описании реальных задач с помощью систем дифференциальных уравнений конкретное решение, или частное решение системы находится из общего решения заданием некоторых начальных условий . Начальное условие записывается для каждой функции и для системы n уравнений 1-го порядка выглядит так:

Решения определяют в пространстве линию, которая называется интегральной линией системы (2.1).

Сформулируем теорему существования и единственности решения для систем дифференциальных уравнений.

Теорема Коши. Система дифференциальных уравнений 1-го порядка (2.1) вместе с начальными условиями (2.2) имеет единственное решение (т.е. из общего решения определяется единственный набор констант ), если функции и их частные производные по всем аргументам ограничены в окрестности этих начальных условий.

Естественно речь идет о решении в какой-то области переменных .

Решение системы дифференциальных уравнений можно рассматривать как вектор-функцию X , компонентами которого являются функции а набор функций – как вектор-функцию F , т.е.

Используя такие обозначения, можно кратко переписать исходную систему (2.1) и начальные условия (2.2) в так называемой векторной форме :

Одним из методов решения системы дифференциальных уравнений является сведение этой системы к одному уравнению более высокого порядка. Из уравнений (2.1), а также уравнений, полученных их дифференцированием, можно получить одно уравнение n -го порядка для любой из неизвестных функций Интегрируя его, находят неизвестную функцию Остальные неизвестные функции получаются из уравнений исходной системы и промежуточных уравнений, полученных при дифференцировании исходных.

Пример 2.1. Решить систему двух дифференциальных первого порядка

Решение . Продифференцируем второе уравнение:

Производную выразим через первое уравнение

Из второго уравнения

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение

откуда получаем Тогда общим решением данного дифференциального уравнения будет

Мы нашли одну из неизвестных функций исходной системы уравнений. Пользуясь выражением можно найти и :

Решим задачу Коши при начальных условиях

Подставим их в общее решение системы

и найдем константы интегрирования:

Таким образом, решением задачи Коши будут функции

Графики этих функций изображены на рисунке 1.

Рис. 1. Частное решение системы примера 2.1 на интервале

Пример 2.2. Решить систему

сведя его к одному уравнению 2-го порядка.

Решение. Дифференцируя первое уравнение, получим

Пользуясь вторым уравнением, приходим к уравнению второго порядка для x :

Нетрудно получить его решение, а затем и функцию , подставив найденное в уравнение . В результате имеем следующее решение системы:

Замечание. Мы нашли функцию из уравнения . При этом на первый взгляд кажется, что можно получить то же самое решение, подставив известное во второе уравнение исходной системы

и проинтегрировав его. Если находить таким образом, то в решении появляется третья, лишняя константа:

Однако, как нетрудно проверить, исходной системе функция удовлетворяет не при произвольном значении , а только при Таким образом, определять вторую функцию следует без интегрирования.

Сложим квадраты функций и :

Полученное уравнение дает семейство концентрических окружностей с центром в начале координат в плоскости (см. рисунок 2). Полученные параметрические кривые называются фазовыми кривыми , а плоскость, в которой они расположены – фазовой плоскостью .

Подставляя какие-либо начальные условия в исходное уравнение, можно получить определенные значения констант интегрирования , а значит окружность с определенным радиусом в фазовой плоскости. Таким образом, каждому набору начальных условий соответствует конкретная фазовая кривая. Возьмем, например, начальные условия . Их подстановка в общее решение дает значения констант , таким образом, частное решение имеет вид . При изменении параметра на интервале мы следуем вдоль фазовой кривой по часовой стрелке: значению отвечает точка начального условия на оси , значению - точка на оси , значению - точка на оси , значению - точка на оси , при мы возвращаемся в начальную точку .

Как решить систему дифференциальных уравнений?

Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.

Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:

– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:

– Метод исключения . Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.

– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).

В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.

Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)

Что тут есть?

– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.

И – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».

И – первые производные неизвестных функций и соответственно.

Что значит решить систему дифференциальных уравнений?

Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений . Только там корнями являются числа, а здесь – функции.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений :

В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».

Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы , удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.

Более компактно систему можно переписать так:

Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.

Пример 1

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , .

Решение: В задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.

Решим систему методом исключения . Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.

Алгоритм решения стандартен:

1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него :

Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).

2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :

Со «штрихами» процесс выглядит так:

Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.

3) Подставим и в первое уравнение системы :

И проведём максимальные упрощения:

Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: .

– получены различные действительные корни, поэтому:
.

Одна из функций найдена, пол пути позади.

Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.

4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию и находим её производную. Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

Или короче:

5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:

Ответ: частное решение:

Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:

1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :

Оба начальных условия выполняются.

2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и в первое уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.

3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и во второе уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.

Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .

Аналогично можно проверить и общее решение , проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.

Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.

Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: . Далее находится первая производная: . Потом следует подставить и во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .

И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.

Можно пойти и путём Примера №1 – из второго уравнения выразить (заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.

Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:

По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.

Пример 3

Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям

Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения , при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.

1) Из первого уравнения системы выражаем:

Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?

И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.

2) Дифференцируем по обе части:

Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.

3) Подставим и во второе уравнение системы :

Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:

Теперь проводим упрощения:

В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.

Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.

Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:

Подставим в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом:

Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».

В результате:

4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :

Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.

Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.

Подставим
и в уравнение (*):

5) Общее решение системы:

6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :

Окончательно, частное решение:

Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.

Ответ: частное решение:

Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.

Пример проще для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям

Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.

В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.

Пример 5

Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения

Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:

По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.

Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали , вычитаем некоторый параметр :

На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.

Раскрываем определитель:

И находим корни квадратного уравнения:

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты

1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:

(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)

Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:

Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то

Основные понятия и определения К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции х = x(t), у = y(t), z = z(t), выражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид Здесь x, у, z - координаты движущейся точки, t - время, f,g,h - известные функции своих аргументов. Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций, называется нормальной. Если принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы. Например, одно уравнение является частным случаем канонической системы. Положив ^ = у, в силу исходного уравнения будем иметь В результате получаем нормальную систему уравнений СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕН Методы интегрирования Метод исключения Метод интегрируемых комбинаций Системы линейных дифференциальных уравнений Фундаментальная матрица Метод вариации постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Матричный метод эквивалентную исходному уравнению. Определение 1. Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система п функций " дифференцируемых на интервале, обращающая уравнения системы (3) в тождества по t на интервале (а, Ь). Задача Коши для системы (3) формулируется так: найти решение (4) системы, удовлетворяющее при t = to начальным условиям Теорема 1 (существования и единственности решения задами Коим). Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений и пусть функции определены в некоторой (n + 1)-мерной области D изменения переменных t, Х\, х 2, ..., хп. Если существует окрестность ft тонки в которой функции ft непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным Х\, х2, ..., хп, то найдется интервал to - Л0 изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям Определение 2. Система п функций зависящих от tun произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3) в некоторой области П существования и единственности решения задачи Коши, если 1) при любых допустимых значениях система функций (6) обращает уравнения (3) в тождества, 2) в области П функции (6) решают любую задачу Коши. Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями. Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений, Будем рассматривать систему значений t> Х\, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Otx\х2. Решение системы (7), принимающее при t - to значения, определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку)- Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Ко-ши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t> Х\, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку Mo(to,x1,x2) (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой. Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение системы - как параметрические уравнения кривой на плоскости х\Ох2. Эту плоскость переменных Х\Х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение (0 системы (7), принимающее при t = t0 начальные значения х°{, х2, изображается кривой АВ, проходящей через точку). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот. § 2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений 2.1. Метод исключения Один из методов интегрирования - метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, Введя новые функции уравнение следующей нормальной системой п уравнений: заменим это одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1). Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка п. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений. Делается это так. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем Заменяя в правой части произв или, короче, Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим или Продолжая этот процесс, найдем Предположим, что определитель (якобиан системы функций отличен от нуля при рассматриваемых значениях Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений будет разрешима относительно неизвестных выразятся через Внося найденные выражения в уравнение получим одно уравнение n-го порядка Из самого способа его построения следует, что если) есть решения системы (2), то функция X\(t) будет решением уравнения (5). Обратно, пусть - решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции По предположению эту систему можно разрешить относительно, хп как функции от t. Можно показать, что так построенная система функций составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример. Требуется проинтегрировать систему Дифференцируя первое уравнение системы, имеем откуда, используя второе уравнение, получаем - линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид. В силу первого уравнения системы находим функцию. Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С| и С2 удовлетворяют заданной системе. Функции можно представить в виде откуда видно, что интегральные кривые системы (6) - винтовые линии с шагом с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3). Исключая в формулах (7) параметр получаем уравнение так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат - проекции винтовых линий на плоскость При Л=0 фазовая траектория состоит из одной точки, называемой точкой покоя системы. ». Может оказаться, что функции нельзя выразить через Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х\ или х2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает Метод интегрируемых комбинаций Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений dXi иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся. Пример. Проинтегрировать систему СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕН Методы интегрирования Метод исключения Метод интегрируемых комбинаций Системы линейных дифференциальных уравнений Фундаментальная матрица Метод вариации постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Матричный метод 4 Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию: Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию: откуда Мы нашли два конечных уравнения з которых легко определяется общее решение системы: Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение связывающее независимую переменную t и неизвестные функции. Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы. Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций отличен от нуля: Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система п линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид или, в матричной форме, Теорема 2. Если все функции, непрерывны на отрезке, то в достаточно малой окрестности каждой точки., хп),где), выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Кошии, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1). Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t)x\,x2}... ,хп и их частные производные по, ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке коэффициентам Введем линейный оператор Тогда система (2) запишется в виде Если матрица F - нулевая, на интервале (а, 6), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных си- стем. Теорема 3. Если X(t) является решением линейной однородной системы где с - произвольная постоянная, является решением той же системы. Теорема 4. Сумма двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы. Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами с, решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы. Теорема 5. Если X(t) есть решение линейной неоднородной системы - решение соответствующей однородной системы то сумма будет решением неоднородной системы Действительно, по условию, Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений Определение. Векторы где называются линейно зависимыми на интервале, если существуют постоянные числа такие, что при, причем по крайней мере одно из чисел а, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при то векторы называются линейно независимыми на (а, Ь). Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно п тождествам: . Определитель называется определителем Вронского системы векторов. Определение. Пусть имеем линейную однородную систему где -матрица с элементами Система п решений линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале, называется фундаментальной. Теорема 6. Определитель Вронского W(t) фундаментальной на интервале системы решений линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке а b коэффициентами a-ij{t) отличен от нуля во всех точках интервала (а, 6). Теорема 7 (о структуре общего решения линейной однородной системы). Общим решением в области линейной однородной системы с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а решений системы (6): произвольные постоянные числа). Пример. Система имеет, как нетрудно проверить, решения Эш решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля: " Общее решение системы имеет вид или - произвольные постоянные). 3.1. Фундаментальная матрица Квадратная матрица столбцами которой являются линейно независимые решения системы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению Если X(t) - фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде - постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в имеем откуда следовательно, Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так: Теорема 8 (о структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений). Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными на отрезке коэффициентами и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения X(t) неоднородной системы (2): 3.2. Метод вариации постоянных Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лаг-ранжа). Пусть есть общее решение однородной системы (6), тогда dXk причем решения линейно независимы. Будем искать частное решение неоднородной системы где - неизвестные функции от t. Дифференцируя имеем Подставляя получаем Так как то для определения получаем систему или, в развернутом виде, Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно 4(0 > определителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале так что система) имеет единственное решение где МО - известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим Подставляя эти значения, находим частное решение системы (2): (здесь под символом понимается одна из первообразных для функции §4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений в которой все коэффициенты - постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами - метод преобразования Лапласа. Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем. Метод Эйлера Будем искать решение системы где - постоянные. Подставляя ж* в форме (2) в систему (1), сокращая на е* и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с п неизвестными ап имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю: Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно А степени п. Из этого уравнения определяются те значения А, при которых система (3) имеет нетривиальные решения а\, Если все корни характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения, этой системы и, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде где второй индекс указывает номер решения, а первый - номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1) образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы. Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид - произвольные постоянные. Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем. М Ищем решение в виде Характеристическое уравнение Система (3) для определения 01,02 выглядит так: Подставляя получаем откуда Следовательно, Полагая находим поэтому Общее решение данной системы: СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕН Методы интегрирования Метод исключения Метод интегрируемых комбинаций Системы линейных дифференциальных уравнений Фундаментальная матрица Метод вариации постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Матричный метод Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде матрица с постоянными действительными элементами a,j. Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор g Ф О называется собственным вектором матрицы А, если Число А называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения где I - единичная матрица. Будем предполагать, что все собственные значения А„ матрицы А различны. В этом случае собственные векторы линейно независимы и существует п х п-матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов Введем еще следующие понятия. Пусть В(£) - п х n-матрица, элементы 6,;(0 которой суть функции аргумента t, определенные на множестве Матрица B(f) называется непрерывной на П, если непрерывны на Q все ее элементы 6,j(f). Матрица В(*) называется дифференцируемой на П, если дифференцируемы на Q все элементы этой матрицы. При этом производной ^р- матрицы В(*) называется матрица, элементами которой являются производные -соответствующих элементов матрицы В(*). Пусть B - вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы В частности, если В - постоянная матрица, то так как ^ есть нуль-матрица. Теорема 9. Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид где - собственные векторы-столбцы матрицы произвольные постоянные числа. Введем новый неизвестный вектор-столбец по формуле где Т - матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя получим систему Умножая обе части последнего соотношения слева на Т 1 и учитывая, что Т 1 AT = Л, придем к системе Мы получили систему из п независимых уравнений, которая без труда интегрируется: (12) Здесь - произвольные постоянные числа. Вводя единичные п-мерные векторы-столбцы решение можно представить в виде Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10): Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы: 1) находим собственные значения „ матрицы как корни алгебраического уравнения 2) находим все собственные векторы 3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10). Пример 2. Решить систему Матричный метод 4 Матрица А системы имеет вид 1) Составляем характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения. 2) Находим собственные векторы Для А = 4 получаем систему откуда = 0|2, так что Аналогично для А = 1 находим I 3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты ау системы (7) действительные, то характеристическое уравнение будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем А оно будет иметь и корень \*, комплексно сопряженный с А. Нетрудно показать, что если g - собственный вектор, отвечающий собственному значению А, то А* - тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g. При комплексном Л решение системы (7) taioKe будет комплексным. Действительная часть и мнимая часть этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению Л* будет отвечать пара действительных решений. та же пара, что и для собственного значения Л. Таким образом, паре А, А* комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений. Пусть - действительные собственные значения, комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид где с, - произвольные постоянные. Пример 3. Решить систему -4 Матрица системы 1) Характеристическое уравнение системы Его корни Собственные векторы матрицы 3) Решение системы где - произвольные комплексные постоянные. Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера получаем Следовательно, всякое действительное решение системы имеет вид произвольные действительные числа. Упражнения Методом исключения проинтегрируйте системы: Методом интефируемых комбинаций проинтефируйте системы: Матричным способом проинтефируйте системы: Ответы