Измерительные работы на местности определение высоты предмета. Исследовательская работа "измерительные работы на местности"

Учитель математики Саримова Наиля Рахимовна

МБОУ Малобугульминская общеобразовательная средняя школа

Бугульминского района Республики Татарстан

Тема урока: Измерительные работы на местности

(для учащихся 5-7 класса)

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич)

Тем, кто хоть раз испытал радостное чувство от решения трудной задачи, познал радость пусть маленького, но открытия, а каждая задача в математике-это проблема, к решению которой человечество шло порою долгие годы, а дети будут, стремятся познавать ещё и ещё и использовать, применять полученные знания в жизни. Это вид работы - поможет учителю увлечь учеников, развивать начала математического и логического мышления, расширить кругозор учащегося, творческую работу, пробудить желание заниматься изучением одной из интереснейших наук. Желание это зависит не только от работы на уроке, но и от практических занятий.

Цель урока : Ознакомить учащихся с методами измерительных работ на местности, ознакомить учащихся такими инструментами, как: рулетка, вешка, отвес, земельный циркуль, экер, рассказать, как ими пользоваться.

Задачи:

- обучающие: научить пользоваться и применять эти инструменты при решении задач методом измерительных работ, совершенствовать навыки самостоятельной работы

-развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, умение составлять план решения и делать выводы, развивать познавательные интересы, навыки самоконтроля.

-воспитательные: воспитывать аккуратность, трудолюбие, усидчивость, стремление доводить начатое дело до конца, чувство взаимопомощи, взаимоподдержки.

Тип урока: урок изучения нового материала

Формы работы учащихся: работа в группах, в парах

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы: взаимосвязи теории с практикой, научности, наглядности.

учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;

сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;

дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

активность учащихся;

самостоятельность учащихся в выполнении заданий;

практические применения математических знаний;

уровень творческих способностей участников.

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;

выявить наиболее активных и способных участников;

воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.

научить применять математические знания в повседневной практической жизни.

Структура урока

Перед проведением измерительных работ на местности ознакомить учащихся такими инструментами:

Рулетка - инструмент для измерения длины. Представляет собой металлическую или пластмассовую ленту с нанесёнными делениями, которая намотана на катушку, заключённую в корпус, снабжённый специальным механизмом для сматывания ленты. Механизм сматывания может быть одного из двух видов: с возвратной пружиной – тогда лента сматывается при отпускании, а вытравливается из корпуса рулетки с некоторым усилием; с выступающей наружу вращающейся рукояткой, связанной с катушкой ленты, – тогда лента сматывается при вращении рукоятки.

Вешка представляет собой прямой деревянный шест или легкую металлическую трубку длиной 1,5 - 3 м с заостренным концом для вытыкания в грунт. Вешки используются для вешения линий, обозначения точек и установки различных устройств при выполнении геодезических работ. Наиболее простые по конструкции вешки для вешения линий и обозначения точек. Они бывают временными и постоянными. Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.

Землемерный циркуль (полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Отвес (шнуровой отвес) - приспособление, состоящее из тонкой нити и грузика на конце её, позволяющее судить о правильном вертикальном положении, служащее для вертикальной юстировки поверхностей (стен, простенков, кладки и т. д.) и стоек (столбов и т. д.). Под действием силы тяжести нить принимает постоянное направление (отвесная линия).

Оконечность грузика должна точно находиться на продолжении натянутой нити, для этой цели грузику придают вид опрокинутого конуса, поставленного на цилиндр; в основание цилиндра ввинчивается маленький цилиндрик так, чтобы центры их совпадали; в центральное отверстие последнего пропускается нить с узлом на конце.

Отвес применяется для установки реек в вертикальное положение для вертикальной юстировки при нивелировании неровного положения, в конструкциях мензулы, ватерпаса и в угломерных инструментах для установки центра лимба над точкой местности.

Повторить с учащимися такие понятия-прямая, отрезок, прямоугольник, длина, ширина, высота, объём, план, масштаб, площадь квадрата и прямоугольника, средняя длина шага, периметр, правила округления чисел.

Затем учащимся ставиться задачи:

Провести на земле прямую линию. Измерить длину отрезка на прямой.

Провести на земле участок прямоугольной формы и вычислить его площадь и периметр, округлить ответ до целых.

Определить площадь пришкольного участка. Сделать необходимые измерения и вычисления. Изобразить этот участок на плане, масштаб плана 1:50000. Ответ указать в гектарах.

Определите среднюю длину своего шага и с помощью этого найдите расстояние от школы до ближайшего магазина; ответ округлить до метров.

Класс разбивается на 4 группы, каждый получает набор необходимых инструментов. Каждая группа может выполнять работу, начиная с любого номера. Группы составляют-отчет описание о ходе работы, сдают на проверку. Учитель оценивает правильность хода работы, верность вычислений и эстетику оформления, ставит общую оценку всей группе.

Решение задач по измерению на местности

(примерное описание)

№1. Д ля того чтобы построить отрезок прямой линии на местности, нужно построить три вешки на предполагаемом отрезке.

Чтобы проверить правильность построения прямой, надо стать напротив крайней вешки и поглядеть на нее так, чтобы все вешки слились в одну. Если же хоть одна вешка будет выглядывать, надо её переместить так, чтобы её не было видно.

Измерения длины отрезка на местности выполняют с помощью мерной лентой или земляного циркуля, или рулетки, можно измерить приближённо своим шагом, если известно средняя длина шага.

Земельный циркуль используется для нахождения длины и ширины поля, расстояние между его концами АВ может быть различными, обычно это примерно 1,5м или 2м.

Для того чтобы измерить длину отрезка на земле с его помощью, надо пройти с ним вдоль отрезка, постоянно переворачивая в точке С. Сколько раз поместится его длина АВ, столько надо это число умножить на1,5м или на 2м. Получим длину искомого отрезка.

Например: l= 1,5*10=15(м) или l=2*10=20(м). (Затем можно проверить длину рулеткой).

№2. Чтобы построить на земле прямой угол, используют-экер. Это две взаимно перпендикулярные планки, на концах которых вертикально вбиты гвоздики. Всё это крепится на специальной треноге (штативе), и в центре есть отвес, для того чтобы прибор был строго перпендикулярен к поверхности земли. Нужно ещё две вешки.

В точке О устанавливаем экер, а в точке А и В- вешки. Надо стать в точке О и смотреть на планки экера так, чтобы два противоположных гвоздика на одной планке сливались с вешкой в точке. А и В. Если обе вешки слились, то угол ВОА=90 градусам, т.е. угол прямой. Если нет, то надо перемещать вешки до полного слияния.

Так можно построить на земле прямоугольник, квадрат. Затем можно найти длины их сторон. Вычисляем периметр и площадь. Ответ округляем до целого числа.

Например : а=12м6дм, в=34м8дм; 1) Р=2(126дм+348дм)=2*474дм= 948дм=94м 8дм. Р=95м. 2). S=АВ*ВС, S=126*348(дм) =3848(дм квадрате)=385 м квадрате.

Вычисление у квадрата подобные, только все стороны равны.

№3 . Выполним измерительные пришкольного участка рулеткой или земельным циркулем.

Например: Получим длина 450м, ширина100м. Если масштаб 1:5000, то переведем эти размеры для построения плана.

450м= 45000см;

45000:5000=9(см)- на плане;

100м=10000см-на местности;

10000:5000-2(см) - на плане. Получаем прямоугольник АВСД. S= 450*100м=45000кв м =450а=45га.

№4 Определение средней длины своего шага. Для этого строим на земле отрезок прямой линии. Ученик делает 10 шагов и измеряет длину получившегося отрезка. Затем эту длину делит на 10, проделав это несколько раз складывает получившийся результаты и делит на число попыток.

Например:

Количество попыток	Число шагов	Всего длина	Длина 1 шага
Средняя длина шага

Расстояния от школы до ближайшего магазина каждый член группы определяет с помощью длины своего шага. Затем находят среднюю длину расстояния.

Например:

Участники	Длина шага	Всего шагов	Расстояния

L= (310+293+292):3=895:3=298,3(м)=298м.

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии.

В древнейшие времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направления сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу). Действовали они так. Втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Когда эта тень становилась кратчайшей, тогда ее конец указывал точное направление на север.

Египетский треугольник

Для измерения площади древние египтяне использовали особый треугольник, у которого были фиксированные длины сторон. Занимались измерениями особые специалисты, которые назывались «натягивателями каната» (гарпедонаптай). Они брали длинную веревку, делили ее на 12 равных частей узелками, а концы веревки связывали. На направлении север – юг они устанавливали два кола на расстоянии четырех частей, отмеченных на веревке. Затем при помощи третьего кола натягивали связанную веревку так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая – четыре, а третья пять частей. Получался прямоугольный треугольник, площадь которого принимали за эталон.

Определение недоступных расстояний

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Одной из таких задач – это определение расстояний до кораблей находящихся в море.

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка:

АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, СD = АК, а отрезок СD можно непосредственно измерить.

Второй способ - триангуляции

С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод включает три этапа:

□ Измерить углы α, β и расстояние АВ;

□ Построить треугольник А1 В1К1 с углами α и β при вершинах А1 и В1 соответственно;

□ Учитывая подобие треугольников АВК и А1 В1К1 и равенство

АК: АВ = А1К1: А1 В1, по известным длинам отрезков АВ, А1К1 и, А1 В1 нетрудно найти длину отрезка АК.

Прием, которым пользовались в русской военной инструкции начала XVII в.

Задача. Найти расстояние от точки А до точки В.

В точке А нужно выбрать жезл примерно в человека. Верхний конец жезла следует совместить с вершиной прямого угла угольника так, чтобы продолжение одного из катетов проходило через точку В. Далее нужно отметить точку С пересечения продолжения другого катета с землей. Тогда, воспользовавшись пропорцией

АВ: АD = АD: АС, легко вычислить длину АВ; АВ = АD2 / АС. Для того, чтобы упростить расчеты и измерения, рекомендуется разделить жезл на 100 или 1000 равных частей.

Древнекитайский прием измерения высоты недоступного предмета.

Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес крупнейший китайский математик III века Лю Хуэй. Ему принадлежит трактат «Математика морского острова», в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдаленном острове, и вычисление недоступных высот. Эти задачи довольно сложны. Но они имеют практическую ценность, поэтому получили широкое применение не только в Китае, но и за ее пределами.

Наблюдают морской остров. Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана на расстоянии 1000 бу. Основания обоих шестов находятся на одной прямой с островом. Если отойти по прямой от первого шеста на 123 бу, то глаз человека лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Такая же картина получится, если отойти от второго шеста на 127 бу.

Какова высота острова?

В привычных для нас обозначениях решение данной задачи, основанное на свойствах подобия.

Пусть EF = КD = 3 чжана = 5 бу, ЕD = 1000бу, ЕМ = 123 бу, СD = 127 бу.

Определить АВ и АЕ.

Треугольники АВМ и ЕFМ, АВС и DКС подобны. Следовательно, ЕF:АВ = ЕМ:АМ и КD:АВ = DС:АС. Получим: ЕМ:АМ = DС:АС, или ЕМ: (АЕ + ЕМ) = СD: (АЕ + ЕD + DС). В результате найдем АЕ = 123·1000: (127 – 123) = 30750 (бу). Подобны и треугольники А1ВF и ЕFМ, а АВ = А1В + А1А. Отсюда АВ = 5·1000(127 – 123) + 5 = 1255 (бу)

Как найти высоту острова?

□ Высоту шеста умножь на расстояние между шестами – это делимое.

□ Разность между отступлениями будет делителем, раздели на нее.

□ Что получится, прибавь высоту шеста.

□ Получим высоту острова.

Рецепт, который предлагал Лю Хуэй.

Расстояние до недоступной точки.

❖ Отступление от предыдущего шеста умножить на расстояние между шестами – это делимое.

❖ Разность между отходами будет делителем, раздели на нее.

❖ Получим расстояние, на которое остров отдален от шеста.

Прикладная геометрия была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом геометрия сопровождало человечество на протяжении всей истории его существования. Решение отдельных старинных задач прикладного характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания и сегодня.

В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Учащиеся учатся пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевают практическими приёмами геометрических измерений и построений.

Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес учащихся к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической деятельности, увидеть масштаб применения математики в жизни человека.

По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов, теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и т.д.

Цели проведения уроков “Измерение на местности”:

Задачи:

• научности;
• наглядности;
• дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

• активность учащихся;

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

• научить применять математические знания в повседневной практической жизни.

Одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой является выполнение учащимися на уроках геометрии практических работ, связанных с измерением, построением, изображением. В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала учащиеся должны научиться производить измерения, пользоваться справочниками и таблицами, свободно владеть чертёжными и измерительными инструментами. Работа проводится как на местности, так и решение задач в классе различными способами на нахождение высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки. По программе в курсе геометрии рассматриваются следующие вопросы:

7 класс

• “Провешивание прямой на местности” (п.2),
• “Измерительные инструменты” (п.8),
• “Измерение углов на местности” (п.10),
• “Построение прямых углов на местности” (п.13),
• “Задачи на построение. Окружность” (п.21),
• “Практические способы построения параллельных прямых” (п.26),
• “Уголковый отражатель” (п.36),
• “Расстояние между параллельными прямыми” (п.37 – рейсмус),
• “Построение треугольника по трём элементам” (п.38)

8 класс.

• “Практические приложения подобия треугольников” (п.64 – определение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки)

9 класс.

• “Измерительные работы” (п.100 – измерение высоты предмета, измерение расстояния до недоступной точки).

Практические работы на уроках геометрии позволяют решать педагогические задачи: ставить перед учащимися познавательную математическую проблему, актуализировать их знания и готовить к усвоению нового материала, формировать практически умения и навыки в обращении с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.. Они позволяют реализовать в обучении важнейшие принципы взаимосвязи теории и практики: практика выступает в качестве исходного звена развития теории и служит важнейшим стимулом её изучения учащимися, она является средством проверки теории и областью её применения.

Система проведения уроков “Измерение на местности” ставит цели:

• практическое применение теоретических знаний учащихся;
• активизация познавательной деятельности учащихся;

Предусматривает выполнение следующих задач:

• расширение кругозора учащихся;
• повышение интереса к предмету;
• развитие смекалки, любознательности, логического и творческого мышления;
• формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы:

• взаимосвязи теории с практикой;
• научности;
• наглядности;
• учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;
• сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;
• дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

• активность учащихся;
• самостоятельность учащихся в выполнении заданий;
• практические применения математических знаний;
• уровень творческих способностей участников.

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

• подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;
• выявить наиболее активных и способных участников;
• воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.
• научить применять математические знания в повседневной практической жизни;
• обращаться с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.

Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:

• Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности.
• Экер – прибор для построения прямых углов на местности.
• Астролябия – прибор для измерения углов на местности.
• Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.
• Землемерный циркуль (полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

Экер

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Астролябия

Устройство: астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.

астролябия

Практические работы

1. Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)

Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.

Практическая работа: построение прямой на местности.

Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м.

2. Измерение средней длины шага.

Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.

Практическая работа: измерение средней длины шага.

Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20 м, проверьте с помощью рулетки.

3. Построение прямых углов на местности.

Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ).

Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.

Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.

4. Построение и измерение углов с помощью астролябии.

Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.

Практическая работа:

• измерение заданных углов,
• построение углов заданной градусной меры,
• построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.

Задание: измерить градусные меры заданных углов.

5. Построение окружности на местности.

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.

Практическая работа: построение окружности.

Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.

6. Определение высоты предмета.

а) С помощью вращающейся планки.

Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту столба А 1 С 1 (задача № 579). Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С 1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А 1 А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А 1 С 1 В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (угол А 1 = углу А = 90 о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;

Измерив расстояния ВА 1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А 1 С 1 столба.

б) С помощью тени.

Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева (задача №580). Можно таким образом определить высоту дерева и в 6 кл, используя построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе.

в) С помощью зеркала.

Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально (задача №581). Луч света, отражаясь от зеркала попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

г) С помощью чертёжного прямоугольного треугольника .

На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 30 0 , то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы.

д) Во время игры “ Зарница” учащимся не разрешается использовать измерительные приборы, поэтому можно предложить следующий способ:

один ложится на землю и направляет глаза на макушку другого, находящегося от него на расстоянии своего роста, так чтобы прямая проходила через макушку товарища и верхушку предмета. Тогда треугольник получается равнобедренным и высота предмета равна расстоянию от лежавшего до основания предмета, которое измеряется, зная среднюю длину шага учащегося. Если же треугольник не равнобедренный, то зная среднюю длину шага измеряется расстояние от лежавшего на земле до стоявшего и до предмета, рост стоявшего заведомо известен. А далее по признаку подобия треугольников вычисляется высота предмета (или построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе).

7. Определение расстояния до недоступной точки.

а) Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листке бумаги строим какой – нибудь треугольник А 1 В 1 С 1 , у которого угол А 1 = угол А, угол С! = угол С и измеряем длины сторон А 1 В 1 и А 1 С 1 этого треугольника. Так как треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 , то АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 С 1 , откуда находим АВ по известным расстояниям АС, А 1 С 1 , А 1 В 1. . Для удобства вычислений удобно построить треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы А 1 С 1: АС = 1: 1000

б) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90 0 (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник (удобнее в масштабе 1: 1000) и вычисляем АВ (ширину реки).

в) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ 1 С 1 . Точка А выбрана на берегу реки, В 1 и С у кромки поверхности воды, ВВ 1 – ширина реки (зад №583, рис 204 учебника), измеряя при этом АС, АС 1 , АВ 1 .

Практическая работа: определить высоту дерева, ширину реки.

В 9 классе в пункте 100 тоже рассматриваются измерительные работы на местности, но используется тема “Решение треугольников”, при этом применяется теорема синусов и теорема косинусов. Рассматриваются задачи с конкретными данными, решая которые можно увидеть различные способы нахождения и высоты предмета и определить расстояние до недоступной точки, что можно применить в будущем практически.

1. Измерение высоты предмета .

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = НВ tgАВН.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: угол АВН = a , угол АСВ = b , угол ВАС = a – b . Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:

АВ = sin (a – b ). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a .

№ 1036

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10 0 к горизонту, а вершину – под углом 45 0 к горизонту. Какова высота башни? (рис.298 учебника)

Решение

Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45 0 , то и угол ВСА =45 0 , значит СА=50м.

Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда

АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10 0 , отсюда АН =9м. СН= СА+АН =50+9 = 59(м)

№ 1038

На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60 0 к горизонту, а потом с её основания С под углом 30 0 . Найдите высоту Н горы (рисунок 299 учебника).

Решение:

угол ЕВА = 60 0

угол КСА =30 0

Найти СР.

Решение:

Угол СВК = 30 0 , т.к. угол ЕВС =90 0 и угол ЕВА =60 0 , отсюда угол СКА =60 0 , значит уголСКА = 180 0 – 60 0 = 120 0 .

В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30 0 , уголСКА = 120 0 , то уголСАК = 30 0 , получим, что треугольник ВСА равнобедренный с основанием АВ, т.к. уголСВК = 30 0 и уголВАС = 30 0 , значит АС = 100м (ВС = АС).

Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30 0 (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС = 50м.

2. Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

Случай 1. Измерение расстояния между точками Аи В, разделёнными препятствием (рекой).

Выберем на берегу реки две доступные точки А и В, расстояние между которыми может быть измерено. Из точки А видны и точка В и точка С, взятая на противоположном берегу. Измерим расстояние АВ, с помощью астролябии измеряем углы А и В, угол АСВ = 180 0 - угол А - угол В

Зная одну сторону треугольника и все углы, по теореме синусов находим искомое расстояние.

2 случай.

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером). Точки А и В доступны.

Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние. АВ 2 = АС 2 + ВС 2 – 2 АС * ВС cos угла С.

3 случай:

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (лесом) и недоступными определяющему расстояние (точки находятся по ту сторону реки).

Выбирают две доступные точки С и К, расстояние между которыми может быть измерено и из которых видны как точка А, так т точка В.

Устанавливают астролябию в точке С и измеряют углы АСК и ВСК. Затем измеряют расстояние СК и переносят астролябию в т. К, из которой измеряют углы АКС и АКВ. На бумаге по стороне СК, взятой в определённом масштабе и двум прилежащим углам строят треугольники АСК и ВСК и вычисляют элементы этих треугольников. Проведя на чертеже линию АВ, определяют длину её непосредственно по чертежу или путём вычисления (решают треугольники АВС и АВК, в которые входит определяемая линия АВ).

Практическая работа в 9 кл на уроках геометрии:

• измерить высоту предмета;
• расстояние до недоступной точки (ширину реки).

Работу провести и через подобие треугольников и через тему “Решение треугольников”.

Задание: сравнить полученные результаты.

В результате проведения цикла уроков по вопросам рассмотрения практического применения геометрии, учащиеся убеждаются в непосредственном применении математики в практической жизни человека (измерение расстояния до недоступной точки, определение высоты предмета различными способами к концу обучения в основной школе, использование измерительных приборов). Решение задач этого типа вызывает заинтересованность учащихся, которые с нетерпением ждут уроков, связанных с непосредственным измерением на местности. А задачи, предложенные в учебнике, знакомят с различными способами решения этих задач.

Литература:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 -9. – Москва: Просвещение, 2000 г.

Видеоурок «Измерительные работы» демонстрирует практическую ценность изученного материала. В состав видео входит демонстрация, каким образом можно измерить высоту предметов, применив имеющиеся знания их геометрии. Также знания геометрии помогут найти расстояние до недоступной точки. Практическое значение раздела математики о решении треугольников трудно переоценить. В строительстве, землемерных и других инженерных работах нередко применяются знания из этой области математики.

Применение теоретических знаний на практике демонстрируется при помощи иллюстраций, на которых легко изобразить реальную практическую задачу, возникшую в ходе инженерных работ. Анимированное представление построений дает возможность выявить знакомые задачи в ходе выполнения практического задания. При помощи сопровождения в виде формул и голосового объяснения дается развернутое объяснение метода решения подобных задач.

Видеоурок начинается с представления темы. Предлагается применить изученные материалы при решении практической задачи на местности - найти высоту некоторого предмета. На иллюстрации демонстрируется высокое дерево, высоту которого требуется измерить. Основание дерева отмечено как точка Н. Замечено, что при отметке некоторой точки А, до которой вычисляется высота, и некоторой точки В на расстоянии b от точки Н, образуется треугольник АНВ, значение некоторых элементов которого известно. Известны прямой угол при вершине треугольника Н, угол ∠АВН=α при вершине В, сторона а. Чтобы найти высоту АН необходимо вычислить произведение длины стороны а и тангенса угла ∠α.

Решение задачи возможно даже в случае, когда нет возможности измерить расстояние от основания дерева Н до точки В. В этом случае на прямой, которой принадлежит сторона НВ, отмечается еще одна точка С. Измеряется расстояние а между отмеченными точками В и С, а также углы при них ∠АВН=∠α и ∠АСВ=∠β. Данных элементов достаточно, чтобы определить оставшиеся неизвестными элементы треугольника АВС. Так как ∠α является внешним углом треугольника, его величина определяется по формуле ∠А=α-β. Для нахождения длины стороны АВ применяем теорему синусов, из которой АВ=a·sinβ/sin(α-β). После вычисления стороны АВ можно определить высоту АН=АВ·sinα. Вместо АВ подставляется полученное выше выражение. Получаем высоту АН= a· sinα·sinβ/ sin(α-β).

Еще один вид задач, решаемых на местности с применением знаний, полученных в данном разделе - измерений расстояний от некоторой точки до недоступной точки. На рисунке к задаче приведен пример, когда необходимо измерить расстояние от некоторой точки до удаленной недоступной точки. Отмечена некоторая точка А, удаленная точка С и искомое расстояние d. Отмечается, что аналогичная задача уже решалась учениками в ходе курса математики с использованием понятия подобия треугольников. В этот раз демонстрируется решение задачи, используя методы решения треугольников. Для этого на данной местности отмечается еще одна точка В, от которой расстояние до А равно с. С помощью астролябии можно измерить углы при вершинах образованного треугольника ∠А=α и ∠В=β. Имеющихся данных достаточно, чтобы определить искомое расстояние d=АС. Оставшийся неизвестным угол ∠С вычисляется по теореме суммы углов треугольника sinС=sin(180⁰-α-β)= sin(α+β). Далее для нахождения расстояния d=АС применяется теорема синусов, из которой следует АС/sinВ=АВ/sinС. Подставляя вместо неизвестных полученные из теоремы выражения, получаем d=с sinβ/sin(α+β). Также отмечается, что аналогично данному ходу решения определяются расстояния до небесных светил.

Видеоурок «Измерительные работы» может быть использован в ходе традиционного урока геометрии вместо объяснения учителя. Также данный материал можно рекомендовать ученикам для самостоятельного рассмотрения. Поможет данное наглядное пособие учителю представить практическое значение изученного материала и в ходе дистанционного обучения.