Ли вынужденные колебания происходить. Вынужденные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. Эта сила, как правило, выполняет двоякую роль: во-первых, она раскачивает систему и сообщает ей определенный запас энергии; во-вторых, она периодически восполняет потери энергии (расход энергии) на преодоление сил сопротивления и трения.

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по закону:

Составим уравнение движения для системы, колеблющейся под воздействием такой силы. Предполагаем, что на систему также действует квазиупругая сила и сила сопротивления среды (что справедливо в предположении малости колебаний). Тогда уравнение движения системы будет иметь вид:

Проведя подстановки, - собственная частота колебаний системы, получим неоднородное линейной дифференциальное уравнение 2 го порядка:

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения известно:

С помощью векторной диаграммы можно убедиться, что такое предположение справедливо, а также определить значения “a” и “j”.

Амплитуда колебаний определяется следующим выражением:

Значение “j”, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы, также определяется из векторной диаграммы и составляет:

Окончательно, частное решение неоднородного уравнения примет вид:

Эта функция в сумме дает общее решение неоднородного дифференциального уравнения, описывающего поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (2) играет заметную роль в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 1). С течением времени из-за экспоненциального множителя роль второго слагаемого (2) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (1).

Рис 1.

Таким образом, функция (1) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных w 0 и b) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания “j” также зависит от частоты вынуждающей силы. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учебное пособие для втузов. - 4-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 2012. - 428 с.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

В целом ряде случаев колебательная система совершает колебания под действием внешней силы, работа которой периодически возмещает потерю энергии на трение и другие сопротивления. Частота таких колебаний зависит не от свойств самой колеблющейся системы, а от частоты изменения периодической силы, под действием, которой система совершает свои колебания. В этом случае мы имеем дело с вынужденными колебаниями, т. е. с колебаниями, навязанными нашей системе действием внешних сил.

Источники возмущающих сил, следовательно, и вынужденных колебаний, весьма разнообразны.

Остановимся на характере возмущающих сил, встречающихся в природе и в технике. Как уже указывалось, электрические машины, паровые или газовые турбины, быстровращающиеся маховики и т.д. из-за несбалансированности вращающихся масс вызывают колебания роторов, перекрытий фундаментов зданий и т.д. Поршневые машины, к которым относятся двигатели внутреннего сгорания и паровые машины, из-за происходящего возвратно-поступательного движения некоторых частей (например, поршня), выхлопа газов или пара, являются источником периодических возмущающих сил.

Обычно возмущающие силы увеличиваются с ростом числа оборотов машины, поэтому исключительно важное значение приобретает борьба с вибрациями в быстроходных машинах. Она осуществляется часто путем создания специального упругого фундамента или устройством упругой подвески машины. Если машина жестко укреплена на фундаменте, то возмущающие силы, действующие на машину, почти целиком передаются на фундамент и далее через грунт на здание, в котором машина установлена, а также на рядом расположенные сооружения.

Для того чтобы уменьшить действие неуравновешенных сил на основание, необходимо, чтобы собственная частота колебаний машины на упругом основании (прокладке) была значительно ниже частоты возмущающих сил, определяемой числом оборотов машины.

Причиной вынужденных колебаний судна, качки кораблей являются волны, набегающие периодически на плавающее судно. Кроме качки корабля в целом под действием волнения воды, наблюдаются также вынужденные колебания (вибрация) отдельных частей корпуса судна. Причиной таких вибраций является неуравновешенность главного двигателя судна, вращающего гребной винт, а также вспомогательных механизмов (насосов, динамо-машин и т.п.). Во время работы судовых механизмов возникают силы инерции неуравновешенных масс, частота повторения которых зависит от числа оборотов машины. Кроме того, вынужденные колебания судна могут быть вызваны периодическим воздействием лопастей гребного винта на корпус судна. Зоммерфельд А., Механика. Ї Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. Ї168 с.

Вынужденные колебания моста могут быть вызваны идущей по нему в ногу группой людей. Колебания железнодорожного моста могут возникнуть под действием спарников, соединяющих ведущие колеса проходящего паровоза. К причинам, вызывающим вынужденные колебания подвижного железнодорожного состава (электровоза, паровоза или тепловоза, и вагонов), относятся периодически повторяющиеся удары колес о стыки рельсов. Вынужденные колебания автомобилей вызываются повторяющимися ударами колес о неровности дорожного покрова. Вынужденные колебания лифтов и подъемных клетей шахт происходят вследствие неравномерности работы подъемной машины, вследствие неправильной формы барабанов, на которые наматываются канаты, и т.п. Причинами, вызывающими вынужденные колебания проводов электропередач, высоких зданий, мачт и дымовых труб могут быть порывы ветра.

Особый интерес представляют вынужденные колебания самолетов, которые могут вызываться различными причинами. Здесь, прежде всего, следует иметь в виду вибрацию самолета, вызываемую работой винтомоторной группы. Вследствие неуравновешенности кривошипно-шатунного механизма, работающих двигателей и вращающихся воздушных винтов возникают периодические толчки, поддерживающие вынужденные колебания.

Наряду с колебаниями, вызываемыми действием рассмотренных выше внешних периодических сил, в самолетах отмечаются и внешние воздействия другого характера. В частности, возникают вибрации, связанные с плохой обтекаемостью передней части самолета. Плохое обтекание надстроек на крыле или неплавное соединение крыла с фюзеляжем (корпусом) самолета приводит к вихре образованиям. Вихри воздуха, отрываясь, создают пульсирующий поток, бьющий по хвостовому оперению и вызывающий его тряску. Такая тряска самолета наступает при определенных режимах полета и проявляется в виде толчков, происходящих не вполне регулярно, через 0,5-1 секунду.

Такого рода колебания, связанные, главным образом, с вибрацией частей самолета вследствие завихрения при обтекании крыла и других передних частей самолета, называют «баффтингом». Явление баффтинга, вызванное срывом потоков с крыла, особенно опасно, когда период ударов по хвостовой части самолета близок к периоду свободных колебаний оперения или фюзеляжа самолета. В этом случае колебания типа «баффтинг» резко возрастают.

Весьма интересные случаи баффтинга наблюдались при сбрасывании десанта с крыла самолета. Появление людей на крыле приводило к вихреобразованиям, вызывающим вибрации самолета. Другой случай появления баффтинга оперения на двухместном самолете был вызван тем, что в задней кабине сидел пассажир и выступающей головой способствовал вихреобразованию в потоке воздуха. При отсутствии пассажира в задней кабине никаких колебаний не наблюдалось.

Важное значение имеют также изгибные колебания воздушного винта, вызываемые возмущающими силами аэродинамического характера. Эти силы возникают вследствие того, что винт при вращении за каждый оборот дважды проходит мимо передней кромки крыла. Скорости же потока воздуха в непосредственной близости от крыла и на некотором удалении от него различны, а потому и аэродинамические силы, действующие на воздушный винт, должны периодически изменяться дважды за каждый оборот винта. Это обстоятельство и служит причиной возбуждения поперечных колебаний лопастей винта.

Обратимся ещё раз к рисунку 53. Перемещая шарик из точки О (положения равновесия) в точку В, мы растягиваем пружину. При этом мы совершаем некоторую работу по преодолению силы её упругости, благодаря чему пружина приобретает потенциальную энергию. Если теперь отпустить шарик, то по мере его приближения к точке О деформация пружины и потенциальная энергия маятника будут уменьшаться, а скорость и кинетическая энергия - увеличиваться.

Допустим, что потери энергии на преодоление сил трения при движении маятника пренебрежимо малы. Тогда, согласно закону сохранения энергии, полную механическую энергию маятника (т. е. Е п + Е к) в любой момент времени можно считать одинаковой и равной той потенциальной энергии, которую мы изначально сообщили пружине, растянув её на длину отрезка ОВ. При этом маятник мог бы совершать колебания сколь угодно долго с постоянной амплитудой, равной ОВ.

Так было бы, если бы при движении не было никаких потерь энергии.

Но реально потери энергии всегда есть. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха, переходя при этом во внутреннюю энергию. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и через некоторое время колебания прекращаются. Такие колебания называются затухающими (рис. 66).

Рис. 66. Графики зависимости от времени амплитуды свободных колебаний, происходящих в воде и в воздухе

Чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания. Например, в воде колебания затухают быстрее, чем в воздухе (рис. 66, а, б).

До сих пор рассматривались свободные колебания, т. е. колебания, происходящие за счёт начального запаса энергии.

Свободные колебания всегда затухающие, так как весь запас энергии, первоначально сообщённый колебательной системе, в конце концов уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (т. е. механическая энергия переходит во внутреннюю). Поэтому свободные колебания почти не имеют практического применения.

Чтобы колебания были незатухающими, необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Это можно осуществить, воздействуя на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Например, каждый раз подталкивая качели в такт их колебаниям, можно добиться того, чтобы колебания не затухали.

• Колебания, совершаемые телом под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями

Внешняя периодически изменяющаяся сила, вызывающая эти колебания, называется вынуждающей силой .

Если на покоящиеся качели начать действовать периодически меняющейся вынуждающей силой, то в течение некоторого времени амплитуда вынужденных колебаний качелей будет возрастать, т. е. амплитуда каждого последующего колебания будет больше, чем предыдущего. Увеличение амплитуды прекратится тогда, когда энергия, теряемая качелями на преодоление силы трения, станет равна энергии, получаемой ими извне (за счёт работы вынуждающей силы).

В большинстве случаев постоянная частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу, а спустя некоторое время после их начала.

Когда амплитуда и частота вынужденных колебаний перестают меняться, говорят, что колебания установились.

Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы .

Вынужденные колебания могут совершать даже тела, которые не являются колебательными системами, например, игла швейной машины, поршни в двигателе внутреннего сгорания и многие другие. Колебания таких тел тоже происходят с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные колебания - незатухающие. Они происходят до тех пор, пока действует вынуждающая сила.

Вопросы

1. Что можно сказать о полной механической энергии колеблющегося маятника в любой момент времени, если допустить, что потерь энергии нет? Согласно какому закону это можно утверждать?
2. Как меняется с течением времени амплитуда свободных колебаний, происходящих в реальных условиях? В чём причина такого изменения?
3. Где быстрее прекратятся колебания маятника - в воздухе или в воде? Почему? (Начальный запас энергии в обоих случаях одинаков.)
4. Могут ли свободные колебания быть незатухающими? Почему? Что необходимо делать для того, чтобы колебания были незатухающими?
5. Что можно сказать о частоте установившихся вынужденных колебаний и частоте вынуждающей силы?
6. Могут ли тела, не являющиеся колебательными системами, совершать вынужденные колебания? Приведите примеры.
7. До каких пор происходят вынужденные колебания?

Упражнение 25

Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за  наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиально различных способов создания колебательных систем незатухающих колебаний. Остановимся более подробно на рассмотрении незатухающих колебаний под действием внешней периодической силы . Такие колебания называются вынужденными. Продолжим изучение движения гармонического маятника (рис. 6.9). 

Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя  вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону

частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ω o . Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле. Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид

Разделим его на массу шарика и используем прежние обозначения параметров системы. В результате получим  уравнение вынужденных колебаний :

где f o = F o /m − отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы к массе шарика. Общее решение уравнения (3) достаточно громоздко и, конечно, зависит от  начальных условий. Характер движения шарика, описываемого уравнением (3), понятен: под действием вынуждающей силы возникнуть колебания, амплитуда которых будет возрастать. Этот переходный режим достаточно сложен и зависит от начальных условий. По прошествии некоторого промежутка времени колебательный режим установится, их амплитуда перестанет изменяться. Именно установившийся режим колебаний , во многих случаях представляет основной интерес. Мы не будем рассматривать переход системы к установившемуся режиму, а сконцентрируем внимание на описании и изучении характеристик этого режима. При такой постановке задачи нет необходимости задавать начальные  условия, так как интересующий нас установившийся режим не зависит от начальных условий, его характеристики полностью определяются самим уравнением. С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении движения тела под действием постоянной внешней силы и силы вязкого трения 

По прошествии некоторого времени тело движется с постоянной установившейся скоростью  v = F o /β , которая не зависит от начальных условий, и полностью определяется уравнением движения. Начальные условия определяют режим, переходный к установившемуся движению. На основании здравого смысла разумно предположить, что в установившемся  режиме колебаний шарик будет колебаться с частотой внешней вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3) следует искать в гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Для начала решим уравнение (3), пренебрегая силой сопротивления

Попробуем найти его решение в виде гармонической функции

Для этого вычислим зависимости скорости и ускорения тела от времени, как производные от закона движения 

и подставим их значения в уравнение (4)

Теперь можно сократить на  cosωt . Следовательно, это выражение обращается в верное тождество в любой момент времени, при выполнении условия

Таким образом, наше предположение о решении уравнения (4) в виде (5)  оправдалось: установившийся режим колебаний описывается функцией

Отметим, что коэффициент A согласно полученному выражению (6) может быть, как положительным (при ω < ω o ), так и отрицательным (при ω > ω o ). Изменение знака соответствует изменению фазы колебаний на π (причина такого изменение будет выяснена чуть позже), поэтому амплитудой колебаний является модуль этого коэффициента |A| . Амплитуда установившихся колебаний, как и следовало ожидать, пропорциональна величине вынуждающей силы. Кроме того, эта амплитуда сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы. Схематический график этой зависимости показан на рис. 6.10

Рис. 6.10 Резонансная кривая

Как следует из формулы (6) и хорошо видно на графике, при приближении  частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплитуда резко возрастает. Причина такого возрастания амплитуды понятна: вынуждающая сила «во время» подталкивает шарик, при полном совпадении частот установившейся режим отсутствует − амплитуда возрастает до бесконечности. Конечно, на практике такого бесконечного возрастания наблюдать невозможно: во-первых , это может привести к разрушению самой колебательной системы, во-вторых , при больших амплитудах колебаний нельзя пренебрегать силами сопротивления среды.  Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса . Приступим теперь к поиску решения уравнения вынужденных колебаний с учетом силы сопротивления 

Естественно, что и в этом случае решение следует искать в виде  гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Легко заметить, что поиск решения в форме (5) в данном случае не приведет к успеху. Действительно, уравнение (8), в отличие от уравнения (4), содержит скорость частицы, которая описывается функцией синуса. Поэтому, временная часть в уравнении (8) не сократится. Следовательно, решение уравнения (8) следует представить в общей форме гармонической функции

в которой два параметра A o и φ необходимо найти с помощью уравнения (8). Параметр A o является амплитудой вынужденных колебаний, φ − сдвиг фаз между изменяющейся координатой и переменной вынуждающей силой. Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, функцию (9) можно представить в эквивалентной форме

которая также содержит два параметра B = A o cosφ и C = −A o sinφ , подлежащих определению. Используя функцию (10), запишем явные выражения для зависимостей скорости и ускорения частицы от времени

и подставим в уравнение (8):

Перепишем это выражение в виде 

Для того чтобы равенство (13) выполнялось в любой момент времени  необходимо, чтобы коэффициенты при косинусе и синусе были равны нулю. На основании этого условия получаем два линейных уравнения для определения параметров функции (10):

Решение этой системы уравнений имеет вид 

На основании формулы (10) определяем характеристики вынужденных колебаний: амплитуду 

сдвиг фаз

При малом затухании эта зависимость имеет резкий максимум при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте системы ω o . Таким образом, и в этом случае возможно возникновения резонанса, поэтому построенные зависимости часто называют резонансной кривой. Учет слабого затухания показывает, что амплитуда не возрастает до бесконечности, ее максимальное значение зависит от коэффициента затухания − с возрастанием последнего максимальная амплитуда быстро убывает. Полученная зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (16) содержит слишком много независимых параметров ( f o , ω o , γ ) для того, чтобы построить полное семейство резонансных кривых. Как и во многих случаях, эту зависимость можно существенно упростить, перейдя к «безразмерным» переменным. Преобразуем формулу (16) к следующему виду

и обозначим

− относительная частота (отношение частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы);

− относительная амплитуда (отношение амплитуды колебаний к величине отклонения A o = f/ω o 2 при нулевой частоте);

− безразмерный параметр, определяющий величину затухания. Используя эти обозначения, функция (16) существенно упрощается

так как содержит всего один параметр − δ . Однопараметрическое семейство резонансных кривых, описываемых функцией  (16 б) может быть построено, особенно легко с помощью компьютера. Результат такого построения показан на рис. 629.

рис. 6.11

Отметим, что переход к «обычным» единицам измерения может быть проведен элементарным изменением масштаба осей координат.  Следует отметить, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда  вынужденных колебаний максимальна, также зависит от коэффициента затухания, слегка убывая с ростом последнего. Наконец, подчеркнем, что увеличение коэффициента затухания приводит к существенному увеличению ширины резонансной кривой. Возникающий сдвиг фаз между колебаниями точки и вынуждающей силой также  зависит от частоты колебаний и коэффициента их затухания. Более подробно с ролью этого сдвига фаз мы познакомимся при рассмотрении преобразования энергии в процессе вынужденных колебаний.

частота свободных незатухающих колебаний совпадает с собственной частотой, частота затухающих колебаний немного меньше собственной, а частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы, а не собственной частотой.

Вынужденные электромагнитные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Рис.6.12. Контур с вынужденными электрическими колебаниями

Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис.6.12 ), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону

,

где m – амплитуда внешней ЭДС,

 – циклическая частота ЭДС.

Обозначим через U C напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС  (t ) действует еще ЭДС самоиндукции  L в катушке индуктивности.

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре

.

Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа

.

Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома

.

Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника

.

Следовательно

.

Напряжение U C на конденсаторе прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора

.

ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную от заряда по времени

.

Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа

.

Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка

.

Введем следующие обозначения и получим

–коэффициент затухания,

–циклическая частота собственных колебаний контура.

. (1)

Уравнение (1) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы).

Общее решение уравнения (1) складывается из общего решения q 1 однородного дифференциального уравнения (2)

(2)

и любого частного решения q 2 неоднородного уравнения (1)

.

Вид общего решения однородного уравнения (2) зависит от величины коэффициента затухания  . Нас будет интересовать случай слабого затухания  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

где B и  0 – постоянные, задаваемые начальными условиями.

Решение (3) описывает затухающие колебания в контуре. Входящие в (3) величины:

–циклическая частота затухающих колебаний;

–амплитуда затухающих колебаний;

–фаза затухающих колебаний.

Частное решение уравнения (1) ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте  внешнего периодического воздействия – ЭДС, и отстающего по фазе на  от него

где
– амплитуда вынужденных колебаний, зависящая от частоты.

Подставим (4) в (1) и получим тождество

Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения

.

Тогда наше уравнение перепишется в виде

Представим колебания в левой части полученного тождества в виде векторной диаграммы (рис .6.13)..

Третье слагаемое, соответствующее колебаниям на емкости С , имеющее фазу ( t –  ) и амплитуду
, изобразим горизонтальным вектором, направленным вправо.

Рис.6.13. Векторная диаграмма

Первое слагаемое левой части, соответствующие колебаниям на индуктивности L , изобразится на векторной диаграмме вектором, направленным горизонтально влево (его амплитуда
).

Второе слагаемое, соответствующие колебаниям на сопротивлении R , изобразим вектором, направленным вертикально вверх (его амплитуда
), т. к. его фаза на/2 отстает от фазы первого слагаемого.

Так как сумма трех колебаний слева от знака равно дает гармоническое колебание
, то векторная сумма на диаграмме (диагональ прямоугольника) изображает колебание с амплитудойи фазой t , которая на  опережает фазу колебаний третьего слагаемого.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти амплитуду A ( )

(5)

и tg  как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

. (6)

Следовательно, решение (4) с учетом (5) и (6) примет вид

. (7)

Общее решение дифференциального уравнения (1) является суммой q 1 и q 2

. (8)

Формула (8) показывает, что при воздействии на контур периодической внешней ЭДС в нем возникают колебания двух частот, т.е. незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС  и затухающие колебания с частотой
. Амплитуда затухающих колебаний
со временем становится пренебрежимо малой, и в контуре остаются только вынужденные колебания, амплитуда которых не зависит от времени. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (4). То есть в контуре возникают вынужденные гармонические колебания, с частотой, равной частоте внешнего воздействия, и амплитудой
, зависящей от этой частоты (рис. 3а ) по закону (5). При этом по фазе вынужденное колебание отстает на  от вынуждающего воздействия.

Продифференцировав выражение (4) по времени, найдем силу тока в контуре

где
– амплитуда силы тока.

Запишем это выражение для силы тока в виде

, (9)

где
–сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС .

В соответствии с (6) и рис. 2

. (10)

Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном сопротивлении R , от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС  и собственной частотой контура  0 .

Если  <  0 , то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Если  >  0 , тогда  > 0. Колебания силы тока отстают от колебаний ЭДС по фазе на угол  .

Если  =  0 (резонансная частота ), то  = 0, т. е. сила тока и ЭДС колеблются в одинаковой фазе.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты внешней, вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.

При резонансе  =  0 и период колебаний

.

Учитывая, что коэффициент затухания

,

получим выражения для добротности при резонансе Т = Т 0

,

с другой стороны

.

Амплитуды напряжений на индуктивности и емкости при резонансе можно выразить через добротность контура

, (15)

. (16)

Из (15) и (16) видно, что при  =  0 , амплитуда напряжения на конденсаторе и индуктивности в Q раз больше амплитуды внешней ЭДС. Это свойство последовательного RLC контура используется для выделения радиосигнала определенной частоты
из спектра радиочастот при перестройке радиоприемника.

На практике RLC контура связаны с другими контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами, вносящими дополнительное затухание в RLC контур. Поэтому реальная величина добротности нагруженного RLC контура оказывается ниже величины добротности, оцениваемой по формуле

.

Реальная величина добротности может быть оценена как

Рис.6.14. Определение добротности по резонансной кривой

,

где f – ширина полосы частот, в которых амплитуда составляет 0,7 от максимального значения (рис. 4).

Напряжения на конденсаторе U C , на активном сопротивлении U R и на катушке индуктивности U L достигают максимума при различных частотах, соответственно

,
,
.

Если затухание мало  0 >>  , то все эти частоты практически совпадают и можно считать что

.

На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Превращение энергии при колебательном движении. Затухающие колебания. Вынужденные колебания». На этом уроке мы рассмотрим, какое превращение энергии происходит при колебательном движении. Для этого мы проведем важный эксперимент с системой горизонтального пружинного маятника. Также мы обсудим вопросы, связанные с затухающими колебаниями и вынужденными колебаниями.

Урок посвящен теме «Превращение энергии при колебательном движении». Кроме этого, мы рассмотрим вопрос, связанный с затухающими и вынужденными колебаниями.

Приступим к знакомству с этим вопросом со следующего важного эксперимента. К пружине прикреплено тело, которое может совершать горизонтальные колебания. Такую систему называют горизонтальным пружинным маятником. В этом случае можно не учитывать действие силы тяжести.

Рис. 1. Горизонтальный пружинный маятник

Будем считать, что в системе сил трения, сил сопротивления нет. Когда эта система находится в равновесии и никакого колебания не происходит, скорость тела равна 0 и отсутствует деформация пружины. В этом случае энергии у данного маятника нет. Но стоит только тело сместить относительно точки равновесия в правую или в левую сторону, в этом случае мы совершим работу по сообщению энергии в данной колебательной системе. Что в этом случае происходит? Происходит следующее: пружина деформируется, изменяется ее длина. Мы сообщаем пружине потенциальную энергию. Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнет свое движение к положению равновесия, пружина начнет выпрямляться и деформация пружины будет уменьшаться. Скорость тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела.

Рис. 2. Стадии колебаний пружинного маятника

Деформация ∆х пружины определяется следующим образом: ∆х = х 0 - х. Рассмотрев деформацию, мы можем сказать, что вся потенциальная энергия запасена именно в пружине: .

Во время колебаний потенциальная энергия постоянно превращается в кинетическую энергию бруска: .

Например, когда брусок проходит точку равновесия х 0 , деформация пружины равна 0, т.е. ∆х=0, стало быть, потенциальная энергия пружины равна 0 и вся энергия потенциальная пружины превратилась в кинетическую энергию бруска: Е п (в точке В) = Е к (в точке А) . Или .

В результате такого движения потенциальная энергия превращается в кинетическую. Потом вступает в действие так называемое явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия. Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины увеличивается. Можно сделать вывод о том, что кинетическая энергия тела уменьшается, а потенциальная энергия пружины вновь начинает нарастать. Мы можем говорить о превращении кинетической энергии в потенциальную.

Когда тело остановится в итоге, скорость тела будет равна 0, а деформация пружины станет максимальной, в этом случае можно говорить, что вся кинетическая энергия тела превратилась в потенциальную энергию пружины. В дальнейшем все повторяется сначала. При выполнении одного условия такой процесс будет происходить непрерывно. Что это за условие? Это условие - отсутствие трения. Но сила трения, сила сопротивления присутствует в любой системе. Поэтому с каждым следующим движением маятника, происходят потери энергии. Совершается работа по преодолению силы трения. Сила трении закону Кулона - Амонтона: F ТР = μ . N .

Говоря о колебаниях, мы всегда должны помнить, что сила трения приводит к тому, что постепенно вся энергия, запасенная в данной колебательной системе, превращается во внутреннюю энергию. В результате колебания прекращаются, а раз колебания прекращаются, то такие колебания называются затухающими.

Затухающие колебания - колебания, амплитуда которых уменьшается вследствие того, что энергия колебательной системы расходуется на преодоление сил сопротивления и сил трения.

Рис. 3. График затухающих колебаний

Следующий вид колебаний, который мы рассмотрим, т.н. вынужденные колебания. Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые совершаются под действием периодической, внешней, действующей на данную колебательную систему силы.

Если маятник совершает колебания, то, чтобы эти колебания не прекращались, каждый раз на маятник необходимо действие внешней силы. Например, мы действуем на маятник собственной рукой, заставляем его двигаться, подталкиваем. Необходимо обязательно действовать с некоторой силой и восполнять потерю энергии. Итак, вынужденные колебания - те колебания, которые совершаются под действием внешней вынуждающей силы. Частота таких колебаний будет совпадать с частотой внешней действующей силы. Когда на маятник начинает действовать внешняя сила, происходит следующее: сначала колебания будут иметь маленькую амплитуду, но постепенно эта амплитуда будет возрастать. И когда амплитуда приобретет постоянное значение, частота колебаний приобретет тоже постоянное значение, говорят о том, что такие колебания установились. Вынужденные колебания установились.

Установившиеся вынужденные колебания восполняют потерю энергии именно благодаря работе внешней вынуждающей силы.

Резонанс

Существует очень важное явление, которое довольно часто наблюдается в природе и технике. Это явление называется резонанс. «Резонанс» - слово латинское и переводится на русский язык как «отклик». Резонанс (от лат. resono - «откликаюсь») - явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний системы, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия силы к частоте собственного колебания маятника или данной колебательной системы.

Если есть маятник, у которого есть собственная длина, масса или жесткость пружины, то у этого маятника существуют свои колебания, которые характеризуются частотой. Если на этот маятник начинает действовать внешняя вынуждающая сила и частота действия этой силы начинает приближаться к собственной частоте маятника (совпадает с ней), то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Это и есть явление резонанса.

В результате такого явления колебания могут быть настолько большими, что тело, сама колебательная система, будет разрушаться. Известен случай, когда строй солдат, шедший через мост, в результате такого явления просто-напросто обрушили мост. Еще один случай, когда в результате движения воздушных масс, достаточно мощных порывов ветра обрушился мост в США. Это тоже явление резонанса. Колебания моста, собственные колебания совпали с частотой порывов ветра, внешней вынуждающей силы. Это привело к тому, что амплитуда настолько увеличилась, что мост разрушился.

Это явление стараются учитывать при проектировании сооружений и механизмов. Например, при движении поезда может произойти следующее. Если едет вагон и этот вагон в такт своего движения начинает раскачиваться, то амплитуда колебаний может увеличиться на столько, что вагон может сойти с рельсов. Произойдет крушение. Для характеристики такого явления используют кривые, которые называются резонансными.

Рис. 4. Резонансная кривая. Пик кривой - максимальная амплитуда

Конечно, с резонансом не только борются, но и используют. Используют его по большей части в акустике. Там, где есть зрительный зал, театральный зал, концертный зал мы обязательно должны учитывать явление резонанса.

Список дополнительной литературы:

А так ли хорошо знаком вам резонанс? // Квант. — 2003. — № 1. — С. 32-33 Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. - М.: Дрофа, 2002. Элементарный учебник физики. Под ред. Г.С. Ландсберга, Т. 3. - М., 1974

1. Выясним, какие превращения энергии происходят при колебаниях пружинного маятника (см. рис. 80). При растяжении пружины ее потенциальная энергия увеличивается и при максимальном растяжении имеет значение E п = .

При движении груза к положению равновесия потенциальная энергия пружины уменьшается, а кинетическая энергия груза увеличивается. В положении равновесия кинетическая энергия груза максимальна E к = , а потенциальная энергия пружины равна нулю.

При сжатии пружины увеличивается ее потенциальная энергия и уменьшается кинетическая энергия груза. При максимальном сжатии потенциальная энергия пружины максимальна, а кинетическая энергия груза равна нулю.

Если пренебречь силой трения, то в любой момент времени сумма потенциальной и кинетической энергий остается неизменной

E = E п + E к = const.

При наличии силы трения энергия расходуется на совершение работы против этой силы, амплитуда колебаний уменьшается и колебания затухают.

Таким образом, свободные колебания маятника, происходящие за счет первоначального запаса энергии, всегда затухающие .

2. Возникает вопрос, что нужно сделать для того, чтобы колебания с течением времени не прекращались. Очевидно, для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии. Это можно сделать разными способами. Рассмотрим один из них.

Вы хорошо знаете, что колебания качелей не будут затухать, если их постоянно подталкивать, т. е. действовать на них с некоторой силой. В этом случае колебания качелей уже не являются свободными, они будут происходить под действием внешней силы. Работа этой внешней силы как раз и восполняет потери энергии, вызванные трением.

Выясним, какой должна быть внешняя сила? Предположим, что модуль и направление силы постоянны. Очевидно, в этом случае колебания прекратятся, потому что тело, пройдя положение равновесия, не будет в него возвращаться. Следовательно, модуль и направление внешней силы должны периодически изменяться.

Таким образом,

вынужденными колебаниями называют колебания, происходящие под действием внешней, периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, в отличие от свободных, могут происходить с любой частотой. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения действующей на тело силы, в данном сдучае называется вынуждающей.

3. Проделаем опыт. Подвесим к веревке, закрепленной в стойках, несколько маятников разной длины (рис. 82). Отклоним маятник A от положения равновесия и предоставим его самому себе. Он будет совершать свободные колебания, действуя с некоторой периодической силой на веревку. Веревка в свою очередь будет действовать на остальные маятники. В результате все маятники начнут совершать вынужденные колебания с частотой колебаний маятника A .

Мы увидим, что все маятники начнут колебаться с частотой, равной частоте колебаний маятника A . Однако их амплитуда колебаний, кроме маятника C , будет меньше, чем амплитуда колебаний маятника A . Маятник же C , длина которого равна длине маятника A , будет раскачиваться очень сильно. Следовательно, наибольшую амплитуду колебаний имеет маятник, собственная частота колебаний которого совпадает с частотой вынуждающей силы. В этом случае говорят, что наблюдается резонанс .

Резонансом называют явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы (маятника).

Резонанс можно наблюдать при колебании качелей. Теперь вы можете объяснить, что качели будут сильнее раскачиваться, если их подталкивать в такт с их собственными колебаниями. В этом случае частота внешней силы равна частоте колебаний качелей. Любой толчок против движения качелей вызовет уменьшение их амплитуды.

4 * . Выясним, какие преобразования энергии происходят при резонансе.

Если частота вынуждающей силы отличается от собственной частоты колебаний тела, то вынуждающаяя сила будет направлена то по направлению движения тела, то против него. Соответственно работа этой силы будет то отрицательной, то положительной. В целом же работа вынуждающей силы в этомслучае незначительно изменяет энергию системы.

Пусть теперь частота внешней силы равна собственной частоте колебаний тела. В этом случае направление вынуждающей силы совпадает с направлением скорости тела, а сила сопротивления компенсируется внешней силой. Тело колеблется только под действием внутренних сил. Иначе говоря, отрицательная работа против силы сопротивления равна положительной работе внешней силы. Поэтому колебания происходят с максимальной амплитудой.

5. Явление резонанса необходимо учитывать в практике. В частности, станки, машины совершают во время работы небольшие колебания. Если частота этих колебаний совпадает с частотой собственных колебаний отдельных частей машин, то амплитуда колебаний может оказаться очень большой. Машина или опора, на которой она стоит, разрушится.

Известны случаи, когда вследствие резонанса разваливался на части самолет в воздухе, ломались гребные винты у судов, рушились железнодорожные рельсы.

Не допустить резонанса можно, изменяя либо собственную частоту системы, либо частоту силы, вызывающей колебания. С этой целью, например, солдаты, переходя через мост, идут не в ногу, а вольным шагом. В противном случае частота их шагов может совпасть с частотой собственных колебаний моста и он разрушится. Так произошло в 1750 г. во Франции, когда через мост длиной102 м, висящий на цепях, проходил отряд солдат. Подобный случай произошел и в Петербурге в 1906 г. При переходе по Египетскому мосту через реку Фонтанку кавалерийского эскадрона частота четкого шага лошадей совпала с частотой колебаний моста.

Для предотвращения резонанса поезда переезжают мосты на медленном или на очень быстром ходу, чтобы частота ударов колес о стыки рельсов была значительно меньше или значительно больше частоты собственных колебаний моста.

Явление резонанса не всегда оказывается вредным. Иногда оно может быть полезным, поскольку позволяет получить с помощью даже небольшой силы большое увеличение амплитуды колебаний.

На явлении резонанса основано действие прибора, позволяющего измерять частоту колебаний. Этот прибор называется частотомером . Его работу можно проиллюстрировать следующим опытом. На центробежной машине закрепляют модель частотомера, которая состоит из набора пластин (язычков) разной длины(рис. 83). На концах пластин имеются жестяные флажки, покрытые белой краской. Можно заметить, что при изменении скорости вращения ручки машины разные пластины приходят в колебание. Колебаться начинают те пластины, собственная частота которых равна частоте вращения.

Вопросы для самопроверки

1. От чего зависит амплитуда свободных колебаний пружинного маятника?

2. Сохраняется ли постоянной амплитуда колебаний маятника при наличии сил трения?

3. Какие превращения энергии происходят при колебаниях пружинного маятника?

4. Почему свободные колебания являются затухающими?

5. Какие колебания называют вынужденными? Приведите примеры вынужденных колебаний.

6. Что называют резонансом?

7. Приведите примеры вредного проявления резонанса. Что нужно сделать, чтобы не допускать резонанс?

8. Приведите примеры использования явления резонанса.

Задание 26

1. Заполните таблицу 14, записав в нее, какая сила действует на колебательную систему, если она совершает свободные или вынужденные колебания; чему равны частота и амплитуда этих колебаний; являются они затухающими или нет.

Таблица 14

Характеристика колебаний	Вид колебаний
	Свободные	Вынужденные
Действующая сила
Частота
Амплитуда
Затухание

2 э. Предложите опыт для наблюдения вынужденных колебаний.

3 э. Изучите экспериментально явление резонанса, используя для этого изготовленные вами математические маятники.

4. При некоторой скорости вращения колеса швейной машины стол, на котором она стоит, иногда сильно раскачивается. Почему?